Geometría subyacente en la medición de distancias en la Teoría de la Información

TRISTÁN M. OSÁN; PEDRO W. LAMBERTI

Merlo, San Luis, Argentina

Taller; 9º Taller Regional de Física Estadística y Aplicaciones a la Materia Condensada; 2011

Universidad Nacional de San Luis

La geometría de la información es el resultado de aplicar la geometría no Euclideana a la teoría de la probabilidad. En este contexto, trata al conjunto de las distribuciones de probabilidad que constituyen un modelo estadístico, como una variedad, analizando las relaciones entre la estructura geométrica de esta variedad y la estimación estadística del modelo. Desde el punto de vista de los modelos estadísicos, la métrica Riemanniana más signicativa es la de Fisher. La distancia geodésica asociada a esta métrica es la denominada distancia de Wootters, la cual tiene una interpretación directa en mecánica cuántica. Por otra parte, la divergencia Jensen-Shannon es una versión suave y simétrica de la divergencia Kullback-Leibler y tiene una interpretación en mecánica estadística, habiéndose demostrado que puede utilizarse como medida de la echa del tiempo. Además, se ha demostrado que la raiz cuadrada del la divergencia Jensen-Shannon es una distancia (métrica) para el espacio de las distribuciones de probabilidad. Mientras que la divergencia Jensen-Shannon tienesu origen en la teoría de la información y la distancia de Wootters tiene sus raíces en los modelos estadísticos, notablemente, existe una estrecha relación formal entre ambas. En este trabajo efectuamos un análisis de la estructura geométrica asociada a ambas distancias. De este análisis se desprende como resultado que la geometría de Riemann resulta insuciente para explicar las diferencias en las estructuras de ambas medidas de distancia. Finalmente, un análisis de la geometría de Finsler, la cual incorpora a la geometría de Riemann como un caso particular, nos conduce a proponerla como herramienta para una caracterización más adecuada de la geometría subyacente en la divergencia Jensen-Shannon.