Mejores Aproximantes Polinomiales para métricas no diferenciables

FAVIER, S.; R. LORENZO

Mendoza

Congreso; Reunion Anual de la UMA. SUMA2019; 2019

Unión Matemática Argentina

Sea Φ la clase de todas las N-funciones φ : [0,∞) → [0,∞). Sea Ω un subconjunto medible y acotado de Rn. Para cada φ ∈ Φ, definimos el espacio de las funciones medibles Lebesgue f definidas sobre Ω.􏰀Ωdonde dx es la medida de Lebesgue sobre Rn.Dada una funci ́on f ∈ Lφ(Ω), definimos como μφ(f), el conjunto de mejores aproximantes por polinomios a la funci ́on f. Es decir, un polinomio P es un mejor aproximante de f si y s ́olo si, se cumple􏰀􏰀Lφ(Ω) = {fmedibles :φ(λ|f(x)|)dx < ∞,para algu ́n λ > 0},Ωφ(|f (x) − P |)dx = ́ınf φ(|f (x) − Q|)dx, Q∈Πm Ωdonde Πm es el espacio de los polinomios algebraicos, definidos sobre Rn de gradoalosumomytalqueΠm ⊂Lφ(Ω).En este trabajo demostramos la siguiente caracterizacio ́n de μφ(f),P ∈ μφ(f) si y s ́olo si se satisfacen ambas desigualdades􏰀− 􏰀+φ (|f−P|)Qdx≤ φ (|f−P|)QdxΩ∩{f P }􏰀− 􏰀+donde φ+ y φ− son la derivada por derecha y por izquierda respectivamente de φ. Lo anterior resulta una extensi ́on del trabajo de Acinas, Favier y Z ́o [AFZ], ya que ellos caracterizan el operador μφ(f) para una φ de carac- ter ́ısticas similares a las nuestras pero con la condici ́on extra de que sea de clase C1[0, ∞).Por u ́ltimo, extendemos la definici ́on en forma continua del operador para funciones de Lφ+ (Ω). Dicha extensi ́on fue considerada en [AFZ] y tambi ́en en [C] en situaciones particulares. La no diferenciabilidad requerida a φ hizo necesaria la utilizaci ́on de t ́ecnicas diferentes para la demostraci ́on de existencia.