El Mejor Aproximante Extendido en Espacios de Orlicz

SERGIO FAVIER

Tandil. Buenos Aires

Congreso; Reunión Anual de la UMA; 2010

Unión Matemática Argentina

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ definimos  $\mathcal{M}=\mathcal{M}(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ como el conjunto de todas las funciones  $\mathcal{A}$-measurables definidas sobre $\Omega$. Dada una funci\'on $\phi$ que es $C^1,$ estrictamente convexa, $\phi:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$ y tal que $\phi(0)=0,$ $\phi(t)>0$ para $t>0$ y $\phi ' (0) =0$, consideramos el espacio de Orlicz $L^{\phi}=L^{\phi}(\Omega,\mathcal{A},\mu).$ Decimos que una colecci\'on $\mathcal{L}$ de conjuntos $\mathcal{A}$medibles es un $\sigma$-lattice si es cerrado para uniones eintersecciones numerables y contiene a $\emptyset$ y $\Omega.$Denotamos por $L^{\phi}(\mathcal{L})$  al conjunto de todas lasfunciones $\mathcal{L}$-measurables en $L^{\phi}.$ Es sabido que para toda $f\in L^{\phi}$ existe un \'unico elemento t$f_{\mathcal{L}}\in L^{\phi}(\mathcal{L})$ tal que$\label{bestapproximation}\int_{\Omega}\phi(|f-f_{\mathcal{L}}|)\;d\mu=\inf_{h\inL^{\phi}(\mathcal{L})}\int_{\Omega}\phi(|f-h|)\; d\mu.$El elemento $f_{\mathcal{L}}$ es llamado un mejor $\phi$-aproximantede $f$ dado $\mathcal{L},$ y denotamos por $\mu_{\mathcal{L}}(.)$ ala asignaci\'on $f \to f_{\mathcal{L}}$ definido sobre $L^{\varphi}$el cual llamaremos el operador de mejor aproximaci\'on. Para $f\in L^{\phi'},$ la funci\'on $g= \mu_{\mathcal{L}}^* (f)$ esllamada un mejor aproximante extendido si $g\inL^{\phi'}(\mathcal{L})$ and $  \int_C\underline{\phi}'(f-g)\;d\mu\leq 0 \,\,for \,\, all \,\,C\in  \mathcal{L}$ and $\int_{\{g\geq a\}}\underline{\phi}'(f-g)\;d\mu=0\,\, for \,\, all\,\,  a\in  \mathbb{R}.$ Este operador fu\'e introducido en \cite{FZ} de manera mon\'otonacontinua y desde entonces fueron probadas distintas propiedades encasos particulares. Se prueba tambi\'en que este operador es elmismo introducido en \cite{CFZ} en forma diferente. Por \'ultimo se pueden dar condiciones suficientes sobre un operador$T:L^{\phi'}\rightarrow L^{\phi'}$ que aseguren que $T$ es unoperador de mejor $\phi$-aproximaci\'on extendido, para uncorrespondiente $\sigma$-lattice $\mathcal{L}\subseteq \mathcal{A},$y consiguiendo de esta forma una  caracterizaci\'on de esteoperador. En \cite{LR1} fue conseguida una caracterizaci\'on para el caso de $L^{\phi}.$ Se observa que las condiciones all{\'\i} consideradas implican las conseguidas recientemente para el caso de $L^{\phi}.$ \begin{thebibliography}{Mey92} \bibitem[1]{CFZ} I.~Carrizo, S.~Favier and F.~Z\'o.\textit{Extension of the Best Approximation Operator in OrliczSpaces}. Abstract and Applied Analysis Volume 2008 (2008), ArticleID 374742, 15 pages. \bibitem[2]{FZ} S.~Favier and F.~Z\'o. \textit{Extension of the best approximationoperator in Orlicz space and weak-type inequalities}. Abstr. Appl.Anal., \textbf{6} (2001), 101-114. \bibitem[3]{LR1} D.Landers and L. Rogge. \textit{ A characterization of best $\phi$-approximants}Transaction of The Am. Math. Soc. \textbf{267} (1981), 259-264.