Ecuaciones de Euler-Lagrange en el marco de los espacios de Orlicz-Sobolev

SONIA ACINAS; GRACIELA GIUBERGIA; LEOPOLDO BURI; FERNANDO MAZZONE; ERICA SCHWINDT

San Luis

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2014

Universidad Nacional de San Luis

Se considera el problema  \begin{equation}\label{ecualagran2} \left\{% \begin{array}{ll} \frac{d}{dt} D_{y}\mathcal{L}(t,\b{u}(t),\b{\dot{u}}(t))= D_{\b{x}}\mathcal{L}(t,\b{u}(t),\b{\dot{u}}(t)) \quad \hbox{a.e.}\ t \in (0,T)\\ \b{u}(0)-\b{u}(T)=D_{\b{y}}\mathcal{L}(0,\b{u}(0),\b{\dot{u}}(0))-D_{\b{y}}\mathcal{L}(T,\b{u}(T),\b{\dot{u}}(T))=0. \end{array}% \right. \end{equation} Aquí $\mathcal{L}$ es una función de Caratheodory que satisface las siguientes condiciones de estructura \begin{eqnarray} |\mathcal{L}(t,\b{x},\b{y})| &\leq a(|\b{x}|)\left(b(t)+ \Phi(|\b{y}|) \right),\label{cotaL}\\ |D_{\b{x}}\mathcal{L}(t,\b{x},\b{y})| &\leq a(|\b{x}|)\left(b(t)+ \Phi(|\b{y}|) \right),\label{cotaDxL}\\ |D_{\b{y}}\mathcal{L}(t,\b{x},\b{y})| &\leq a(|\b{x}|)\left(c(t)+ \varphi(|\b{y}|) \right).\label{cotaDyL} \end{eqnarray} donde $Phi$ y $Psi$ son N-funciones complementarias, $\phi$ y $\psi$ sus derivadas, $a \in C(R^+;R^+)$, $b\inL^1$ y $c\inL^{\Psi}$. Para garantizar la existencia de soluciones de dicho problema se estudian las propiedades de la integral de acción $I(\b{u})=\int_{0}^T \mathcal{L}(t,\b{u}(t),\b{\dot{u}}(t))\ dt$ En este trabajo se prueba que dicha integral I es diferenciable con deriva- da continua. Además, se demuestra que, bajo ciertas hipótesis, I es débil-mente semicontinua inferior y coerciva. A partir de estos resultados se puede garantizar la existencia de mnimo para I y luego, de soluciones para (1).