Cálculo de Variaciones: Teoría y Aplicaciones

RICARDO OSCAR GROSSI

Dsignum

Lugar: Barcenona; Año: 2010 p. 287

978-84-96736-98-6

PRÓLOGO Desde mediados de la década de 1960, las aplicaciones de la matemática en la ingeniería, se caracterizaron fundamentalmente por una constante inserción del análisis funcional. La ingeniería se vio obligada a recurrir a teorías matemáticas, cuya necesidad en períodos anteriores, era inconcebible. Actualmente las teorías del análisis funcional son usadas a diario por ingenieros que trabajan en problemas de avanzada de la ingeniería. Es evidente que varios logros espectaculares de la ingeniería de los últimos tiempos han sido posibles gracias al trabajo en conjunto de ingenieros, físicos y matemáticos, pero fundamentalmente gracias al aporte de ingenieros con una importante formación matemática. El cálculo de variaciones es una de las ramas de la matemática pura, que a su vez, tiene profundas raíces en problemas físicos y es evidente que gran parte de su potencia y belleza deriva de la gran variedad de aplicaciones. Actualmente ciertas áreas básicas del análisis funcional, como son los espacios lineales y los espacios normados, permiten el desarrollo de temas del cálculo de variaciones en forma general, rigurosa y clara. Dado que hay publicada una gran cantidad de excelentes textos y monografías sobre el cálculo de variaciones, resulta evidente que la aparición de un nuevo libro sobre el tema exige de algunas explicaciones. Existen numerosos textos clásicos desarrollados con las teorías del análisis matemático clásico, procedimiento que presenta limitaciones para la clara y rigurosa exposición de ciertos temas esenciales. Por otra parte, se publicaron varios textos escritos con gran rigor matemático mediante el uso de teorías del análisis funcional, como son los espacios topológicos. El carácter técnico y dificultoso de varios de los temas que componen dichas teorías, puede constituir una formidable barrera para quienes, no siendo matemáticos, desean conocer y hacer uso del cálculo de variaciones. Afortunadamente es posible una selección de temas que permitan el aprendizaje, sin una inversión de esfuerzo y tiempo de grandes proporciones, de los elementos básicos del análisis funcional. A efectos de que el ingeniero, o el científico no matemático, pueda aplicar con confianza los procedimientos del cálculo de variaciones, es esencial que domine las técnicas correspondientes y que tenga un mínimo de conocimiento de la teoría que las fundamenta. Este libro está destinado a ingenieros, físicos y especialistas en matemática aplicada. Se ha realizado un gran esfuerzo por exponer los distintos conceptos en la forma más clara y simple posible, pero sin descuidar el rigor matemático. Casi todos los teoremas se presentan con sus correspondientes demostraciones, excepto las que son muy extensas y técnicas, y que no contribuyen de manera clara a la comprensión del resultado deseado. El libro se divide en dos partes fundamentales a saber: En la primera parte se desarrollan los elementos básicos del análisis funcional como son los espacios lineales y los normados, y conceptos esenciales tales como continuidad y variación de un funcional. Todos estos conceptos se presentan como generalizaciones directas de los conocidos del análisis matemático. Esta parte está compuesta por los capítulos 1 a 6. Si bien el enfoque del libro se realiza mediante el uso de elementos del análisis funcional, no se aplica la teoría de la integral de Lebesgue, la cual constituye una formidable herramienta matemática para tratar temas avanzados del cálculo de variaciones y de la teoría de los métodos variacionales. Afortunadamente para los temas que se tratan en este libro es suficiente con el uso de la teoría de la integración de Riemann. La segunda parte, compuesta por los capítulos 7 a 9, contiene detalles de aplicaciones del cálculo de variaciones en la ingeniería. En particular, se determinan los problemas de contorno que describen el comportamiento estático y/o dinámico cuerdas, vigas, pórticos y placas con diversas complejidades, tales como extremos o bordes elásticamente restringidos, presencia de rótulas y de restricciones elásticas intermedias, variación de espesor, material anisótropo, etc. En la primera parte, la teoría se desarrolló sobre la base de los excelentes textos indicados en la lista de referencias. A su vez, la segunda parte está fundamentalmente basada en trabajos de investigación desarrollados por el autor y colaboradores. El libro se organizó en nueve capítulos y en los mismos se desarrollan los siguientes temas: I. Orígenes y objetivos del cálculo de variaciones. II. Espacios normados y variación de un funcional. III. Extremos de funcionales. IV. Los lemas de du Bois – Reymond. V. El problema elemental del cálculo de variaciones. VI. Generalizaciones del problema básico. VII. Aplicaciones del cálculo de variaciones. VIII. Vibraciones de pórticos. IX. Vibraciones transversales de placas. En cada capítulo se propone una lista de problemas que complementan los desarrollos teóricos y prácticos. Este libro tiene su origen en los cursos de cálculo de variaciones, dictados por el autor, en las Facultades de Ingeniería y de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional de Salta; en la Facultad Regional Delta de la Universidad Tecnológica Nacional; y en la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología de la Universidad Nacional de Tucumán. El autor desea hacer un expreso reconocimiento al profesor Eugenio Oñate, Director del Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE), por la posibilidad brindada para la publicación de este libro. También desea agradecer al profesor Francisco Fernandez, Director del Servicio de Información e Investigación sobre la Lengua (SIL) de la Universidad Nacional de Salta, por su colaboración en la corrección del manuscrito. Asimismo agradece al Departamento de Publicaciones del CIMNE y en particular a María Jesús Samper por su eficiente supervisión en el proceso de producción del libro. Finalmente agradece al doctor Luis Villa y al ingeniero Guillermo Ryan por la revisión del manuscrito. Ricardo O. Grossi