Introducción a la mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana

SERGIO GRILLO

La Falda, Córdoba

Congreso; III Encuentro de Geometría Diferencial; 2007

FAMAF

El objeto de estas notas es dar, en el contexto de la geometría diferencial, una breve introducción a las formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de los sistemas mecánicos. En primer lugar se intentará establecer un contacto preciso entre las ecuaciones de Euler-Lagrange (E-L) para sistemas de partículas con vínculos, tal como aparecen en los textos clásicos de mecánica, y los conceptos geométricos que entran en juego en la derivación de las mismas. Una vez realizada dicha derivación daremos la definición de sistema Lagrangiano y de formulación Lagrangiana de un sistema dinámico, presentaremos algunos ejemplos, y citaremos ciertas ventajas de utilizar dicho formalismo. Presentaremos también algunas expresiones globales de las ecuaciones de E-L, en términos de conexiones afines, y haremos un breve repaso de la interpretación variacional de tales ecuaciones. En segundo lugar estudiaremos la formulación Hamiltoniana de sistemas mecánicos. En lineas generales, avanzaremos a partir de un ejemplo sencillo, aumentando gradualmente el grado de generalidad a través de la introducción de estructuras geométricas adecuadas, como las formas simplécticas y los corchetes de Poisson. En ese camino se mostrará cómo se construye un sistema Hamiltoniano a partir de uno Lagrangiano mediante la transformación de Legendre, indicando la relación entre ambos formalismos. Por último, discutiremos brevemente el caso de los sistemas noholónomos y los corchetes asociados.