Fórmulas para la multiplicidad de los ceros aislados de sistemas ralos genéricos

HERRERO, MARÍA ISABEL; JERONIMO, GABRIELA; SABIA, JUAN

Buenos Aires

Congreso; Primer Encuentro Conjunto de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) y la Unión Matemática Argentina (UMA); 2017

Unión Matemática Argentina - Real Sociedad Matemática Española

Un sistema genérico de ecuaciones polinomiales ralas consiste de ecuaciones dadas por polinomios con estructura monomial prefijada y coeficientes complejos genéricos.Los soportes de los polinomios (es decir, el conjunto de los vectores de exponentes de los monomios que aparecen en cada polinomio) juegan un papel fundamental en la estimación de la cantidad de ceros aislados del sistema ([Bernstein1975], [HuberSutrmfels1997), así como también en la existencia de componentes de dimensión positiva en el conjunto de soluciones en C^n ([HerreroJeronimoSabia2013]).El uso de herramientas geométrico-combinatorias de este tipo ha dado lugar también a resultados en problemas relacionados, tales como la determinación de invariantes numéricos asociados a singularidades de variedades dadas por polinomios ralos y multiplicidades de ideales monomiales en anillos locales ([Teissier1988], [KavehKhovanskii2014]).En esta comunicación presentaremos fórmulas para la multiplicidad de los ceros aislados en C^n de un sistema ralo genérico de n ecuaciones con n incógnitas. Siguiendo el enfoque clásico de Bernstein, Khovanskii y Kouchnirenko, estas fórmulas dependen de la estructura combinatoria del sistema, más precisamente, de invariantes asociados a los soportes de las ecuaciones: volúmenes mixtos de conjuntos convexos e integrales mixtas de funciones convexas.