LA ECUACION DE MONGE-AMPERE Y EL ESTUDIO DE CUERPOS ELASTICOS NO-EUCLIDEANOS

PABLO OCHOA

Congreso; XII ENCUENTRO NACIONAL DE ANALISITAS; 2014

Al observar el proceso de morfogénesis de hojas vegetales, se detecta una amplia variedad de formas y patrones: desde estructuras planas o flat, a estructuras con una compleja geometría, con patrones ondulatorios o incluso con forma elíptica. Los mismos fenómenos pueden observarse en otras estructuras vegetales y animales, como en pétalos, flores, organismos in- vertebrados, etc. Estas observaciones sugieren que durante el proceso de crecimiento, este tipo de cuerpos elásticos busca adoptar un equilibrio no factible, y por lo tanto asumen una configuración final no libre de stress. En un intento por comprender el proceso de formación de estas complejas estructuras de equilibrio, ha sido postulado un modelo matemático, llamado incompatible elasticity. En esta charla, formularemos este modelo matemático, explicando sus bases empíricas, y lo emplearemos para deducir un modelo variacional explícito para cuerpos elásticos delgados, los cuales pueden considerarse como superficies bidimensionales en el espacio Euclídeo, a través de convergencia Gamma. La idea es comenzar desde una sucesión de modelos tridimensionales y derivar, a través de un proceso de convergencia, un modelo para el objeto bidimensional. Entre otros aspectos, la ventaja de usar la teoría de convergencia Gamma es que se obtiene automáticamente la convergencia de puntos mínimos de los modelos tridimensionales, a puntos mínimos del funcional límite. También observaremos como surge una condición de tipo Monge-Ampere en el espacio donde el funcional límite está definido.