Convergencia de controles óptimos frontera para inecuaciones variacionales elípticas

M. BOUKROUCHE; C. M. GARIBOLDI; D. A. TARZIA

Bahia Blanca

Congreso; III MACI 2011 - III Congreso de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial; 2011

ASAMACI - Asociación Argentina de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial

Se considera un sistema complementario $S$ en un dominio acotado n-dimensional con condiciones de frontera mixtas y para cada $\alpha>0$ se tiene otro sistema complementario $S_{\alpha}$ con diferente condici\'on (tipo Robin) sobre una porci\'on de la frontera del dominio. Se establece una estimaci\'on de la distancia entre la combinaci\'on convexa de las soluciones del sistema $S$, $u_{3}(t)=t u_{q_{1}}+ (1-t)u_{q_{2}}$ para cada $q_{1}$, $q_{2}$ y la soluci\'on de la combinaci\'on convexa de los datos $u_{4}(t)=u_{tq_{1}+ (1-t ) q_{2}}$. Similarmente se prueba una an\'aloga estimaci\'on vinculada al sistema $S_{\alpha}$, para cada $\alpha>0$. Para un funcional de costo cuadr\'atico, se considera un problema de control \'optimo frontera gobernado por una inecuaci\'on variacional el\'iptica en relaci\'on al sistema $S$ y usando la propiedad de monoton\'ia $u_{4}(t)\leq u_{3}(t)$ $\forall t\in [0,1]$ se obtiene la unicidad del control \'optimo. La misma propiedad es probada para la familia de problemas de control \'optimo frontera vinculados al sistema $S_{\alpha}$, para cada $\alpha >0$. Se demuestra adem\'as la convergencia, cuando $\alpha\to +\infty$, de los controles \'optimos y de los estados asociados a esta familia de problemas de control frontera. Este resultado se obtiene sin el uso del estado adjunto del sistema lo cual es una ventaja respecto a la prueba dada en Gariboldi-Tarzia, Adv. in Diff. Eq. and Control Processes, 1 (2008), pp. 113-132, para sistemas gobernados por ecuaciones variacionales el\'ipticas.