Ecuaciones diferenciales singularmente perturbadas. Algunas técnicas de elementos finitos para su aproximación numérica

LOMBARDI, ARIEL L.

Neuquén

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2022

Unión Matemática Argentina

Consideraremos algunos problemas singularmente perturbados de convección - reacción - difusión en los que el coeficiente de difusión es pequeño comparado con los que aparecen en los términos de convección o reacción. Estos problemas aparecen en numerosos modelos físicos en los que los procesos difusivos son dominados por otros mecanismos como por ejemplo la convección, y se caracterizan por la presencia de las llamadas capas limites o internas (boundary o internal layers): regiones estrechas donde la solución presenta grandes gradientes. En particular, al linealizar las ecuaciones de Navier-Stokes con número de Reynolds grande se llega a problemas de convección-difusión singularmente perturbados.La aproximación numérica de tales problemas fue muy desarrollada en las últimas décadas y sigue siendo de interés y presentando nuevos desafíos. Si bien los problemas de reacción - difusión y de convección - difusión tienen propiedades muy distintas, en ambos casos interesa obtener aproximaciones robustas, o sea, aproximaciones adecuadas y factibles independientemente (o casi) del parámetro de difusión cuando este se acerca a un valor crítico.En esta charla trataremos de realizar un breve introducción a este tema y mostrar algunas técnicas basadas en la utilización de mallas de elementos finitos graduadas para problemas particulares en las venimos trabajando desde hace un tiempo. También veremos algunos resultados más recientes sobre aproximación en normas balanceadas basados en una formulación variacional con pesos recientemente introducida por [Madden y Stynes, Calcolo 58, 2021] para problemas de reacción - difusión con reacción dominante.