CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS HIPERELÍPTICAS APLICADO À MODELAGEM ESTATÍSTICA DO ALGORITMO NLMS

KOLODZIEJ, JAVIER ERNESTO; TOBIAS, ORLANDO JOSÉ; SEARA, RUI

Oberá, Misiones, Argentina

Congreso; XIII Encuentro de Enseñanza de Matemática en Carreras de Ingeniería; 2006

As técnicas de processamento digital de sinais vêm sendo extensivamente aplicadas com sucesso há algumas décadas. Particularmente, o filtro digital com coeficientes fixos já faz parte do nosso cotidiano, sendo amplamente utilizado em diversas aplicações, tais como os populares sistemas de som digitais, telefones celulares, equipamentos e instrumentos médicos.No entanto, em algumas situações práticas, para se obter um melhor aproveitamento do filtro digital, é desejável poder modificar seus coeficientes ao longo do tempo, tal como nas comunicações telefônicas, em que o canal de comunicação envolvido muda suas características a cada ligação efetuada. Assim, para tais situações, o uso de um filtro adaptativo, ou seja, um filtro com coeficientes variáveis faz se agora necessário [1]. Outros exemplos de aplicações usuais de técnicas de filtragem adaptativa são: antenas adaptativas, equalização de canais, cancelamento de eco em telefonia de longa distância, cancelamento de interferências, estimação espectral e, dentre os mais recentes, podemos destacar cancelamento de eco acústico e de vibrações em estruturas.Uma área importante em filtragem adaptativa é a determinação do modelo matemático do algoritmo adaptativo. Os modelos matemáticos, quando alimentados com as informações referentes às condições de operação, podem predizer o comportamento do sistema em estudo. Com tais informações, podem se realizar ajustes ou ainda comparações de desempenho entre diferentes algoritmos, permitindo julgar a adequação de cada um deles com a aplicação considerada.No processo de modelagem de um algoritmo adaptativo usualmente são assumidas certas condições de modelagem, tais como, valor do passo de adaptação, comprimento do filtro, natureza estatística do processo de entrada, etc., que são fontes de certas suposições simplificativas, necessárias para permitir as derivações matemáticas requeridas. Em geral, se poucas considerações são assumidas, o modelo será mais abrangente, porém maiores serão as dificuldades matemáticas encontradas na derivação do modelo. Por exemplo, a modelagem estocástica do algoritmo LMS filtrado (FXLMS), considerando a teoria da independência [1], é simples, no entanto, inexata [2].No caso da modelagem do algoritmo LMS normalizado (NLMS), o procedimento apresentado em [3] tem a interessante característica de usar apenas a consideração de independência entre o vetor de entrada e o vetor de coeficientes [1]. Porém, esse caminho revela uma dificuldade muito grande para efetuar os cálculos dos valores esperados contendo fatores de normalização, necessários para a obtenção dos momentos de primeira e segunda ordens do vetor de coeficientes do filtro adaptativo. A determinação de tais momentos requer do cálculo de integrais hiperelipticas (ou de Abelian) de ordem  N, onde N  é o comprimento do filtro adaptativo. Na literatura técnica não existe uma solução para esse tipo de integrais para ordens maiores do que quatro, sendo que na prática é muito freqüente que N seja muito maior do que esse valor.Neste trabalho, é proposta uma solução aproximada para integrais hiperelípticas de ordem N, com resultados muito satisfatórios na aplicação prática.