LÍNEAS GEODÉSICAS: UNA GENERALIZACIÓN

LÓPEZ GONZALO MAXIMILIANO; ALFIO ANTONIO RODRÍGUEZ

Bariloche

Congreso; Encuentro Regional de la Unión Matemática Argentina en Bariloche; 2018

Departamento de Matemática. Centro Regional Universitario Bariloche. UNCo

En un curso básico de geometría diferencial se adquieren herramientas para abordar un primer concepto (o una primera idea) de una curva geodésica. Las geodésicas son soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden que varían según la superficie a las que están confinadas. Geométricamente una geodésica sobre una superficie es una curva simple en ella, de manera tal que para cualquier par de puntos de la curva, la porción de curva que los conecta es también el camino más corto entre ellos en la superficie [1].En este trabajo generalizamos este concepto y lo enmarcamos dentro del estudio de variedades diferenciales. Veremos que una geodésica sobre una variedad dependerá en gran medida del par (M, g)=(variedad, métrica) que ésta posea. Con este propósito desarrollaremos la idea de campo vectorial paralelo a lo largo de una curva sobre la variedad, generalizando el concepto de derivada covariante para el estudio de variedades. Con esto lograremos obtener la definición de una geodésica en una variedad [2] [3]. También veremos que la condición de camino más corto entre dos puntos de la variedad adquiere sentido con la noción de distancia sobre la variedad, que nos brinda la métrica asociada.Las ecuaciones de geodésicas para un par (M, g) de dimensión n forman un sistema de n ecuaciones diferenciales de segundo orden, es por ello que no siempre se puede obtener una expresión analı́tica de las geodésicas, como por ejemplo las geodésicas del toro de dimensión n, Tn , que se encuentran de forma implı́cita.En Relatividad General, se estudian los caminos (geodésicas) que pueden tomar los objetos cuando no son libres, y su movimiento se ve limitado de varias maneras, por ejemplo la gravedad g (métrica)[4]. Por esta razón es de suma importancia conocer la trayectoria de un objeto sobre lı́neas geodésicas.En este trabajo encontraremos estas lı́neas geodésicas, utilizando diferentes métodos numéricos (diferencias finitas y Runge Kutta), para distintos pares de (M, g). Veremos también aquı́ que estas lı́neas geodésicas no solo depende de la métrica g de la variedad, sino también las condiciones iniciales que se les imponga.Referencias:[1] Do Carmo, M. P. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised andUpdated Second Edition. Courier Dover Publications.[2] Do Carmo, M. P. (1992). Riemannian geometry. Birkhauser.[3] Lee, J. M. (2006). Riemannian manifolds: an introduction to curvature (Vol. 176). SpringerScience & Business Media.[4] Carrol, S. M. (2004). Spacetime and geometry. An Introduction to General RelativityAddison-Wesley.