Grados de Morfismos Irreducibles en ciertas componentes de AUSLANDER-REITEN.

CHAIO CLAUDIA

Rosario

Congreso; Reunión de la Unión Matematica Argentina 2013; 2013

Sea A un álgebra de artin y mod A la categoría de A-módulos a izquierda finitamente generados. Una de las metas fundamentales de la teoría de representaciónes de A es describir los morfismos en mod A. En 1992, S. Liu introdujo la noción de grado de un morfismo irreducible en mod A. En los ultimos años esta teoría tuvo un gran desarrollo, particularmente, para álgebras de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. En este contexto, en [CLT] se logró estudiar el comportamiento de las composiciones de morfismos irreducibles con respecto a las potencias del radical de la categoría de módulos. También, se probó que un morfismo irreducible es de grado a izquierda finito si su núcleo no esta en el radical infinito de la categoría de módulos. Se obtuvieron además resultados que relacionan al grado con el tipo de representación de un álgebra. Por otro lado, es bien conocido que un álgebra A es tipo de representación finito si el radical de mod A es nilpotente. Recien en 2012, utilizando el concepto de grado se logró encontrar dicho de índice de nilpotencia, ver [C]. Es una pregunta natural saber si los resultados antes mencionados valen en un contexto mas general, es decir, para algebras de artin. El objetivo fundamental de este trabajo es el estudio de los grados de morfismos irreducibles en componentes del carcaj de Auslander-Reiten de un álgebra de artin con sucesiones que casi se parten con a lo sumo dos términos indescomponibles en el medio. En este trabajo, se obtuvieron caracterizaciones de los grados de morfismos irreducibles en las mencionadas componentes. También para dichas álgebras se obtuvieron resultados que relacionan los grados de ciertos morfismos irreducibles con el tipo de representación de un álgebra. Referencias: [C] C. Chaio, On the Harada and Sai bound , Bull. London Math. Soc. 44, Issue 6 (2012) 1237 - 1245. [CLT] C. Chaio, P. Le Meur, and S. Trepode , Degrees of irreducible morphisms and finite representation type , J. London Math. Soc. (2) 84 (2011) 35 - 57. [CL] C. Chaio, and S. Liu , A note on the radical of a module category , To appear in Comm. Algebra (2013).