Radical de la categoría de módulos de un álgebra Dynkin

CHAIO, CLAUDIA Y GUAZZELLI, VICTORIA.

Rosario

Congreso; Reunión de la Unión Matematica Argentina 2013; 2013

Sea A un algebra de artin y mod A la categoría de A-módulos a derecha finitamente generados. Uno de los problemas que interesan en la teoría de representaciones es determinar el tipo de representación de un álgebra. Es bien conocido por un resultado de M. Auslander, que un álgebra de artin A es de tipo de representación finita si el radical de su categoría de módulos es nilpotente. Para un álgebra de artin de representación finita por el Lema de Harada-Sai, sabemos que una cota donde el radical de la categoría se anula es 2^b-1, donde b es la máxima longitud de los A-módulos indescomponibles, ver {HS}. Posteriormente, en {EdlP}, fue hallada una cota mas precisa la cual, también depende de la longitud máxima de los A-módulos indescomponibles. Para el caso en que A es un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado en {C}, fue hallado el índice de nilpotencia. Este índice fue dado en función de una cantidad finita de grados de morfismos irreducibles, demostrándose que el comportamiento de los morfismos en mod A con respecto al radical de la categoría es controlada de alguna forma por el comportamiento de las cubiertas proyectivas y de las cápsulas inyectivas de los módulos simples. En este trabajo, consideraremos álgebras hereditarias de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de tipo de representación finito, es decir, aquellas álgebras donde su carcaj asociado es uno de los diagramas Dynkin. Para las citadas álgebras, utilizando los resultados de {C}, sabemos por lo antes dicho que es posible determinar el índice de nilpotencia del radical de la categoría de módulos. En este trabajo, se logró dar una lectura de los índices de nilpotencia para el radical de cada categoría de módulos en función de su diagrama Dynkin asociado. Más precisamente, el trabajo consiste en determinar cada uno de dichos índices en función de la cantidad de vértices o de las aristas del carcaj asociado. Este trabajo fue desarrollado con el financiamiento de la Beca de Entrenamiento para Alumnos Universitarios, otorgada por la Comisi´on de Investigaciones Científicas. {C} C. Chaio. On the Harada and Sai Bound. Bulletin of the London Math Soc. 44, Issue 6 (2012) 1237 - 1245. {EdlP} D. Eisenbud and J. A. de la Peña, Chains of maps between indecomposable modules, J. Reine Angew. Math. 504 (1998) 29 - 35. {HS} M. Harada and Y. Sai, On categories of indecomposable modules I, Osaka J. Math. 7 (1970) 323 - 344.