Sobre composiciones de morfismos irreducibles en casi-tubos

C. CHAIO; P. MALICKI

Santa Fe

Congreso; Congreso UMA 2015; 2015

En este trabajo consideramos $A$ un \'algebra de artin y $\mbox{mod}\,A$ sucategor\'ia de m\'odulos a izquierda finitamente generados. Uno de los objetivos de la Teor\'ia de Representaci\'ones de \'algebras deartin es estudiar las composiciones de los morfismos irreducibles de$\mbox{mod}\,A$. En 1992, S. Liu introdujo la noci\'on de grado de un morfismoirreducible, motivado por el estudio de las composiciones de morfismosirreducibles entre m\'odulos indescomponibles y su relaci\'on con laspotencias del radical de su categor\'ia de m\'odulos.En los \'ultimos a\~nos la teor\'ia de grados y composiciones de morfismosirreducibles se empez\'o a desarrollar, particularmente, para \'algebrasde dimensi\'on finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Una preguntanatural es saber si los resultados obtenidos para dichas \'algebrastambi\'en valen en un contexto mas general, es decir, para algebras de artin.Comenzaremos respondiendo la pregunta anterior presentando unageneralizaci\'on a \'algebras de artin [C], de los resultados obtenidos en[CPT] para componentes regulares del carcaj de un Auslander-Reiten. Estosresultados nos permitieron estudiar la composici\'on de morfismosirreducibles entre m\'odulos indescomponibles pertenecientes a casi tubosy su relaci\'on con las potencias del radical de su categor\'ia dem\'odulos sobre un \'algebra de artin, resultados que presentaremos en estacharla [CM].En la teor\'ia de algebras autoinjectivas (que son aquellas en que todom\'odulo proyectivo es tambi\'en inyectivo) son muy importantes lascomponentes llamadas casi-tubos. Un casi tubo es una componente del carcajde Auslander-Reiten donde la parte estable es un tubo estable. La parteestable de una componente se obtiene eliminando de ella todas las \'orbitasde los proyectivos y de los inyectivos.Los casi tubos se encuentran tambi\'en, entre otras, en las componentes de Auslander-Reiten de las \'algebras multicoil generalizadas.Referencias: [C] {\sc C. Chaio}, {\it A generalization of the composition of irreduciblemorphisms in regular components}, Algebras and Representation Theory 18, (2015), no. 2, 323--337.[CM] {\sc C. Chaio, P. Malicki}, {\it Composition of irreducible morphismsin quasi-tubes}, Oberwolfach preprint, (2015), 03.[CPT] {\sc C. Chaio, M. I. Platzeck, S. Trepode}, {\it The composite of irreducible morphisms in regular components}, Colloquium Mathematicum 123, (2011), no. 1, 27 - 47.