Sobre composiciones de Morfismos irreducibles y el radical de la categor\'ia de m\'odulos

C. CHAIO

Bahía Blanca

Congreso; Congreso Dr. Antonio Monteiro; 2015

Consideramos $A$ un \'algebra de artin y $\mbox{mod}\, A$ su categor\'ia de m\'odulos a izquierda finitamente generados.Para estudiar $\mbox{mod}\, A$ es fundamental entender su radical, $\Re(\mbox{mod}\, A)$.Si $X$ e $Y$ son m\'odulos indescomponibles, el radical $\Re(X,Y)$, consiste en los morfismos que no son isomorfismos.Inductivamente se definen las potencias de $\Re(X,Y)$ y $\Re^{\infty}(X,Y)$ se define como la intersecci\'on de todas las potencias naturales de $\Re(X,Y)$.Es conocido el resultado de R. Bautista de que un morfismo entre m\'odulos indescomponibles es irreducible si y solo si pertenece al radical y no a su cuadrado.Con el fin de estudiar la relaci\'on de la composici\'on de los morfismos irreducibles con respecto a las potencias del radical,S. Liu ([SL], 1992), introdujo la noci\'on de grado de un morfismo irreducible.Este concepto ha mostrado ser unaherramienta muy importante para resolver varios problemas de lateor\'ia de Representaciones de \'algebras de artin. Entre otros, permiti\'o dar soluci\'on a cu\'ando la composici\'on de dos morfismos irreducibles est\'a en $\Re^{3}(\mbox{mod}\, A)$.En [CLMT], para $k$-\'algebras de dimensi\'on finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, generalizando t\'ecnicas de cubrimientos de Galois, se resolvi\'o el problema de cu\'ando la composici\'on de $n$ morfismos irreducibles es no nula y pertenece a la potencia $n+1$ de $\Re(\mbox{mod}\, A)$.En [C], si adem\'as se considera que el \'algebra es de tipo finito, se determin\'o el \'indice de nilpotencia de $\Re(\mbox{mod}A)$.Posteriormente, el referido \'indice fue extendido para \'algebras de artin en [CL].En esta charla se presentar\'a un resumen de losresultados mencionados y se mostrar\'an algunos avances sobre el tema.\vspace{.15in}{\textbf {Referencias}}\vspace{.1in}[CLMT] C. Chaio, P. Le Meur, S. Trepode {\em Degreesof the irreducible morphisms and finite-representation type.}Journal of The London Math Soc (2) 84, (2011), 35-57.\vspace{.05in}[SL] S. Liu. {\em Degrees of irreducible maps and the shapes ofAuslander-Reiten quivers.} Journal of The London Math. Soc (2) 45,(1992) 32-54.\vspace{.05in}[C] C. Chaio. {\em On the Harada and Sai bound.}Bulletin of the London Math Soc. 44, (6), (2012), 1237-1245.\vspace{.05in}[CL] C. Chaio, S. Liu. {\em A note on the radical of a module category} Communications in Algebra 41, (12), (2013), 419-4424.