Irreducible morphisms of finite left degree

CHAIO CLAUDIA

Cartagena de Indias

Congreso; CIMPA School; 2012

La noción de grado de un morfismo irreducible fue introducido por S. Liu [SL], en 1992. Este concepto ha mostrado ser una herramienta muy importante para resolver varios problemas de la teoría de Representaciones de álgebras. En particular, por [CLMT], para un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, es posible determinar si el álgebra es de tipo de representación finito calculando el grado de un número finito de morfismos irreducibles. Además, para una $k$-álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de tipo finito, también sabemos determinar el menor número entero positivo n tal que Re^n(X,Y)= 0 para todos los módulos X e Y en mod A. Esta cota está dada en términos de grados a derecha e izquierda de ciertos morfismos irreducibles, [C]. La finalidad de esta comunicación científica es introducir el concepto de grado de un morfismo irreducible, dar una idea de los resultados anteriormente mencionados y presentar algunos avances sobre el tema en cuestión. Es nuestra meta más inmediata lograr generalizar los resultados obtenidos para $k$-álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado al contexto de álgebras de Artin. Trabajaremos sobre álgebras de Artin y daremos una caracterización de cuándo el grado a izquierda (derecha) de morfismos irreducibles es dos. Aplicando estos resultados daremos solución al problema de cuándo la composición de tres morfismos irreducibles entre módulos indescomponibles es no nula y está en la potencia cuarta del radical. [CLMT] C. Chaio, P. Le Meur, S. Trepode. Degrees of the irreducible morphisms and finite-representation type. Journal of The London Math Soc (2) 84, (2011), 35-57. [SL] S. Liu. Degrees of irreducible maps and the shapes of Auslander-Reiten quivers. Journal of The London Math. Soc (2) 45, (1992) 32-54. [C] C. Chaio. On the Harada and Sai bound. To appear in the Bulletin of the London Math Soc. (2012).