Grados de morfismos irreducibles en ciertas componentes de Auslander-Reiten

C. CHAIO

Rosario

Congreso; Reunión UMA 2013; 2013

Sea $A$ un \'algebra de artin y $\mbox{mod}\,A$ la categor\'ia de $A$-m\'odulos a izquierda finitamente generados.Una de las metas fundamentales de la teor\'ia de representaci\'ones de $A$ es describir los morfismos en ${\rm mod}\,A$.En 1992, S. Liu introdujo la noci\'on de grado de un morfismo irreducible en $\mbox{mod}\,A$.En los ultimos a\~nos, esta teor\'ia tuvo un gran desarrollo, particularmente, para \'algebras de dimensi\'on finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. En este contexto, en [CLT] se logr\'o estudiar el comportamiento de las composiciones de morfismos irreducibles con respecto a las potencias del radical de la categor\'ia de m\'odulos. Tambi\'en, se prob\'o que un morfismo irreducible es de grado a izquierda finito si su n\'ucleo no esta en el radical infinito de la categor\'ia de m\'odulos. Se obtuvieron adem\'as resultados que relacionan al grado con el tipo de representaci\'on de un \'algebra.Por otro lado, es bien conocido que un \'algebra $A$ es tipo de representaci\'on finito si el radical de ${\rm mod}\,A$ es nilpotente.Recien en 2012, utilizando el concepto de grado se logr\'o encontrar dicho \'indice de nilpotencia, ver [C].Es una pregunta natural saber si los resultados antes mencionados valen en un contexto mas general, es decir, para algebras de artin. El objetivo fundamental de este trabajo es el estudio de los grados de morfismos irreducibles en componentes $\Gamma$ del carcaj de Auslander-Reiten de un \'algebra de artin con sucesiones que casi se parten con a lo sumo dos t\'erminos indescomponibles en el medio, es decir, $\alpha(\Gamma) \leq 2$.En este trabajo, se obtuvieron caracterizaciones de los grados de morfismos irreducibles en las mencionadas componentes. Tambi\'en para dichas \'algebras se obtuvieron resultados que relacionan los grados de ciertos morfismos irreducibles con el tipo de representaci\'on de un \'algebra.\vspace{.1in}\noindent Referencias: \vspace{.1in}[C] {\sc C. Chaio}, ``On the Harada and Sai bound", Bull. London Math. Soc. 44, Issue 6 (2012) 1237 - 1245.[CLT] {\sc C. Chaio, P. Le Meur, and S. Trepode}, ``Degrees of irreduciblemorphisms and finite representation type", J. London Math. Soc. (2) 84 (2011) 35 - 57.[CL] {\sc C. Chaio, and S. Liu}, ``A note on the radical of a module category", To appear in Comm. Algebra (2013).