Minimizadores locales de problemas de tipo Procusto en a variedad de matrices positivas

PABLO CALDERÓN; NOELIA BELÉN RIOS; MARIANO RUIZ

Congreso; CLAM VI; 2021

UMALCA

Sea $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ el espacio de matrices (cuadradas) de dimensión $d$ y $\mathcal{X}\subset \mathcal{M}_d(\mathbb{C})$. Consideremos una matriz $A\in\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ (fija) y una métrica en $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ dada por una distancia $\rm {\textbf d}$. Un típico problema de aproximación de matrices (o de tipo Procusto) es estudiar la distancia mínima$$\rm {\textbf d}(A,\mathcal{X}):=\inf\{ \rm {\textbf d}(A,C):\,C \in \mathcal{X}\}\,,$$y en caso de que se alcance, estudiar el conjunto de mejores aproximantes de $A$ en $\mathcal{X}$$$\mathcal{A}^{\rm op}(A,\mathcal{X})=\{C\in\mathcal{X}:\,\rm {\textbf d}(A,C)=\rm {\textbf d}(A,\mathcal{X})\}\,.$$ Algunas de las elecciones clásicas de $\mathcal{X}\subset \mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ son las matrices autoadjuntas, las semidefinidas positivas, los proyectores ortogonales, etc, y la métrica suele ser la inducida por la norma Frobenius, pero también podría provenir de cualquier otra norma, por ejemplo, de alguna que sea unitariamente invariante (nui). El problema del que nos ocuparemos en esta charla es el siguiente: dada $N$ una nui (estrictamente convexa) en $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$, definimos en el cono de matrices positivas $\mathcal{P}_d(\mathbb{C})$, la distancia $$ {\bf{d}}_N(A,B):=N(\log(A^{-1/2} B A^{-1/2})) \quad\text{para } A,B\in\mathcal{P}_d(\mathbb{C})$$ Entonces, si fijamos $A,B\in \mathcal{P}_d(\mathbb{C})$ podemos considerar$$\mathcal{X}=\mathcal{O}_B=\{ UBU^* : \, U\quad\text{es unitaria}\}\,.$$ Luego, el problema de Procusto asociado es el de estudiar la distancia $$\displaystyle{\bf{d}}_N(A,\mathcal{O}_B)=\inf_{C\in\mathcal{O}_B} {\bf{d}}_N(A,C)$$y (en caso de ser posible) los mejores aproximantes de $A$ en $\mathcal{O}_B$. En 2019, Bhatia y Congedo probaron que esa distancia se alcanza en matrices de $\mathcal{O}_B$ que conmutan con $A$. Como $\mathcal{O}_B$ es un espacio métrico con la métrica inducida por la norma usual de operadores, lo que proponemos en esta charla es estudiar los minimizadores globales la función $F_{(N,A,B)}=F_N:\mathcal{O}_B \to \mathbb{R}_{>0} $ dada por $$ F_N\left(C\right)=N\left(\log\left(A^{-1/2}CA^{-1/2}\right)\right)\quad \text{para} \quad C\in \mathcal{O}_B\,.$$ En particular, vamos a dar una caracterización espectral de los minimizadores locales de $F_N$ en $\mathcal{O}_B$ (cuando $N$ es una nui estrictamente convexa) utilizando técnicas geométricas aplicadas al caso de igualdad en la desigualdad de Lidskii (multiplicativa) y probaremos que los minimizadores locales son globales,independientemente de la nui estrictamente convexa elegida.