Mínimos locales de problemas de tipo Procusto en la variedad de matrices positivas

PABLO CALDERÓN; NOELIA BELÉN RIOS; MARIANO RUIZ

Bahía Blanca (virtual)

Congreso; XVI Congreso Dr. Antonio Monteiro; 2021

Departamento de Matemática - Universidad Nacional del Sur

Sea \mathcal{M}_d(\mathbb{C}) el espacio de matrices (cuadradas) de dimensión d y sea \mathcal{P}(d)\subset \mathcal{M}_d(\mathbb{C}) el cono de matrices positivas. Dadas A,B\in \mathcal{P}(d) y una norma unitariamente invariante (nui) N definida en \mathcal{M}_d(\mathbb{C}),podemos considerar la función F_{(N,A,B)}=F_N:\mathcal{O}_B \to \mathbb{R}_{>0} dada por F_N\left(C\right)=N\left(\log\left(A^{-1/2}CA^{-1/2}\right)\right) para C\in \mathcal{O}_B,donde \mathcal{O}_B=\{ UBU^* : \, U\in \mathcal{M}_d(\mathbb{C}) es unitaria\} denota a la órbita unitaria de B, la cual es un espacio métrico con la métrica inducida por la norma usual de operadores. En el 2019, Bhatia y Congedo probaron que los extremos (globales) de F_N, se alcanzan en matrices de la órbita unitaria de B que conmutan con A.En esta charla vamos a dar una caracterización espectral de los minimizadores locales de F_N en la órbita unitaria de B, cuando N es una nui estrictamente convexa, utilizando técnicas geométricas aplicadas al caso de igualdad en la desigualdad de Lidskii (multiplicativa). En particular probaremos que los minimizadores locales son globales,independientemente de la nui estrictamente convexa elegida.