Problemas de distancias al operador de marco

PEDRO GUSTAVO MASSEY; NOELIA BELÉN RIOS; DEMETRIO STOJANOFF

Mendoza

Congreso; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2019

Sean $S$ una matriz positiva en $mathbb C^{dimes d}$ y $mathbf{a}=(a_i)_{i=1}^k$ un vector de entradas reales positivas ordenado de manera no creciente. Vamos a considerar el producto (cartesiano) de esferas como$$mathbb{T}_{d}(mathbf{a}) := { mathcal G={g_i}_{i=1}^k in (mathbb C^d)^{k} : left|g_{i}ight|^2=a_i, ,, orall i=1,cdots, k},.$$dotado con la siguiente métrica$$d(mathcal G,ilde{mathcal G})^2= sum_{iinmathbb I_k}|g_i-ilde g_i|^2 %max, { , | g_i-ilde g_i|: iinI_k, }$ quadext{para}quadmathcal G={g_i}_{i=1}^k,, ilde {mathcal G}={ilde g_i}_{i=1}^kin mathbb{T}_{d}(mathbf{a}),.$$Luego, fijando la matriz $S$ y el vector $mathbf{a}=(a_i)_{i=1}^k$ como antes y considerando una norma unitariamente invariante y estrictamente convexa $N$, vamos a definirla extit{distancia al operador de marco} como la función $Phi_{(N,S,a)}=Phi_N:mathbb{T}_{d}(mathbf{a})ightarrow mathbb R_{geq 0}$ dada por$$Phi_N(mathcal G)=N(S-S_{mathcal G}),$$donde $S_{mathcal G}=sum_{i=1}^k g_i , g^*_i$ es el operador de marco de la familia $mathcal G$.Cuando la norma $N$ elegida es "suave", como en el caso de las normas $p$ de Schatten, se puede utilizar algoritmos de tipo de descenso en la dirección del gradiente para hallar (o aproximar) los mínimos de esta función. Considerando un algoritmo de este tipo y siendo $N$ la norma Frobenius de matrices, N. Strawn conjeturó en extbf{[S.]} que (bajo ciertas hipótesis de mayorización)%Suponiendo que $kgeq d$, que el vector $mathbf{a}$ está mayorizado por el espectro de la matriz $S$ y que $N$ es la norma Frobenius de matrices, N. Strawn conjeturó en cite{strawn}, basándose en sus propios resultados y evidencia numérica, que los minimizadores locales de $Phi_N$ en $mathbb{T}_{d}(mathbf{a})$ son minimizadores globales. La veracidad de esta conjetura fue probada recientemente%en extbf{[MRS 1.]}, como una aplicación de un problema de completaciones de marcos con normas predeterminadas, aún en términos más generales que los planteados por Strawn.En esta charla mostraremos que para $N$ una norma unitariamente invariante y estrictamente convexa cualquiera, los minimizadores locales de $Phi_N$ en $mathbb{T}_{d}(mathbf{a})$ son globales, utilizando como herramienta principal una versión local del Teorema de Lidskii para matrices autoadjuntas, que será clave para obtener de manera detallada la estructura geométrica y espectral de los minimizadores locales. En particular, veremos que las familias de vectores con normas predeterminadas que minimizan estas distancias al operador de marco, no dependen de la norma unitariamente invariante elegida. Cabe destacar que este resultado incluye una prueba alternativa a la conjetura de Strawn.