Sobre los extremos locales en problemas de tipo Procusto en la variedad de matrices positivas

PABLO CALDERÓN; NOELIA BELÉN RIOS; MARIANO RUIZ

Mendoza

Congreso; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2019

En el trabajo ¨Procrustes problems in Riemannian manifolds of positive definite matrices¨ deR. Bathia y M. Congedo (Linear Algebra and its Applications 563 (2019) 440 - 445) los autoresestudian los mejores aproximantes a una matriz A en la órbita unitaria de B, con A y B en lavariedad de las matrices positivas, dotada con diversas métricas y pseudométricas usadas comúnmente en teoría de información. En el este trabajo, los autores muestran mediante el empleode técnicas de análisis matricial (concretamente, las desigualdades de Lidskii y propiedades dela mayorización vectorial), que los mejores aproximantes en la órbita de B conmutan con A. Enesta charla mostraremos que, mediante las técnicas empleadas por los autores de esta comunicación en trabajos previos, los resultados de Bathia y Congedo pueden completarse de modotal de poder caracterizar a los mejores aproximantes locales. Esto es, describir espectralmente alas soluciones locales del problema de minimización de tipo Procusto relacionado al emplear lasdistintas métricas y pseudométricas. Concretamente, mediante técnicas geométricas aplicadasa los casos de igualdad en las desigualdades de Lidskii, mostramos que los máximos y mínimoslocales en la órbita de B (con respecto a ciertas funciones convexas definidas en el espectro)conmutan con A y son, de hecho, extremos globales.