Problemas de multi-aproximación simultánea

MARÍA JOSÉ BENAC; NOELIA BELÉN RIOS; MARIANO RUIZ

CABA

Seminario; Seminario de análisis funcional Mischa Cotlar; 2023

Instituto Argentino de Matemática

En esta charla vamos a considerar un problema de multi aproximación dentro del conjunto de matrices semi definidas positivas, que proviene de la teoría de marcos en dimensión finita. Más explícitamente, si $extbf d=(d_1,ldots, d_m)inmathbb{N}^m$ es tal que $d_1geqcdotsgeq d_m$,dada una sucesión finita de matrices $$Phi^0=llav{F^0_i}_{i=1}^m, ,,ext{para},,F^0_iin mathbb C^{d_iimes n},,$$y $alpha=paren{alpha_1,cdots,alpha_n}$ un vector de números (pesos) positivos ordenado de manera no creciente, lo que buscamos es caracterizar a los mejores aproximantes de $Phi^0$ dentro del conjunto de los $(alpha,extbf{d})$-diseños$$D(alpha,extbf{d}):=llav{Phi=llav{F_i}_{i=1}^m: ,,F_iin mathbb C^{d_iimes n},,ext{y},sum_{i=1}^m ||f_{ik}||^2=alpha_k,, k=1,cdots,n},,$$donde $f_{ik}$ es la $k$-ésima columna de la matriz $F_i$, con respecto a la función$$Theta(Phi)=sum_{i=1}^m || F_i^0(F_i^0)^*-F_i F_i^* ||_2^2,.$$Esta función $Theta:D(alpha,extbf{d})o mathbb{R}_{geq 0}$, es usualmente denominada (el cuadrado de) "la distancia conjunta al operador de marco", ya que $F_i F_i^*=cS_{cF_i}$ es el operador de marco de la familia (de vectores de $C^{d_i}$) $cF_i=llav{f_{ik}}_{k=1}^n$. Dado que el conjunto $D(alpha,extbf{d})$ está dotado por la métrica producto (natural), vamos a estudiar la naturaleza de los minimizadores locales de $Theta$ en dicho conjunto.En el caso en que $m=1$, este problema fue planteado por Strawn en 2012 y fue resuelto hace unos años, considerando una traducción del mismo, a un problema de diseño de marcos con normas predeterminadas.Lo que vamos a contar en esta charla es como caracterizar espectralmente a los minimizadores locales de esta función, para $mgeq 1$, vía una traducción a un problema de multi-diseño. Veremos además que los minimizadores locales son globales.Finalmente, como aplicación del caso $m=1$, estudiaremos los óptimos de un problema de aproximación, dentro de la teoría de $G$-marcos.