Problemas de multi-aproximación simultánea de matrices positivas

MARÍA JOSÉ BENAC; NOELIA BELÉN RIOS; MARIANO RUIZ

Salta

Congreso; UMA 2023; 2023

Facultad de Ciencias Exactas UNSA

En esta charla vamos a considerar un problema de multi aproximación dentro del conjunto de matrices semi definidas positivas, que proviene de la teoría de marcos en dimensión finita. Más explícitamente, si d=(d1,…,dm)∈Nm, dada una sucesión finita de matrices Φ0={F0i}mi=1, para F0i∈Cdi×n y una sucesión no creciente de números (pesos) positivos α=(αi)ni=1, lo que buscamos es caracterizar a los mejores aproximantes de Φ0 dentro del conjunto de los (α,d)-diseñosD(α,d):={Φ={Fi}mi=1:Fi∈Cdi×n∧∑i=1m||fik||2=αk,k=1,…n}(57)donde fik es la k-ésima columna de la matriz Fi, con respecto a la funciónΘ(Φ)=∑i=1m||F0i(F0i)∗−FiF∗i||22.(58)Esta función Θ:D(α,d)→R≥0, es lo que se denomina (el cuadrado de) ¨la distancia conjunta al operador de marco¨.En el caso en que m=1, este problema fue planteado por Strawn en 2012 y fue resuelto hace un años, considerando una traducción del mismo, a un problema de diseño de marcos con normas predeterminadas. Lo que vamos a contar en esta charla es como caracterizar espectralmente a los minimizadores locales de esta función, para m≥1, vía una traducción a un problema de multi-diseño. Veremos además que los minimizadores locales son globales.