Comportamiento local de la función Lagrangiana aumentada

DAMIÁN FERNÁNDEZ

San Miguel de Tucumán

Congreso; LXI reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2011

Universidad Nacional de Tucumán

En este trabajo estudiamos el comportamiento local del método de la (función) lagrangiana aumentada cuado tanto la función objetivo como las restricciones han sido perturbadas. El análisis local clásico [1] solo sirve para estudiar soluciones tales que los gradientes de las restricciones activas son vectores linealmente independientes y existe un multiplicador de Lagrange asociado donde valga la condición suficiente de segundo orden. Además, la condición de complementariedad estricta siempre es asumida en el análisis clásico.Usando herramientas modernas de análisis [3], mostraremos que la función lagrangiana aumentada es bien comportada cerca de una solución con un multiplicador de Lagrange asociado donde valga la condición suficiente de segundo orden. El análisis usado es independiente de la condición de regularidad de las restricciones y no necesita condiciones artificiales como la de complementariedad estricta. Adicionalmente, las aproximaciones de primer y segundo orden de las funciones objetivo y restricciones quedan incluídas en este análisis, ya que matemáticamente son perturbaciones de la función original. Con esto, extendemos algunos resultados de [2] donde se entiende la iteración del método de la lagrangiana aumentada como un método de Newton perturbado. Así el proceso de estabilización usado para el método de programación cuadrática secuencial estabilizado, tanto en su versión exacta como cuasi-Newton, queda comprendido en este anális y deja un marco teórico que sustenta la futura implementación del proceso de estabilización en otros métodos computacionales. Como ejemplo, presentaremos una perturbación que (teóricamente) debería reducir el costo computacional de resolución del subproblema interno del método de la lagrangiana aumentada.Referencias[1] Bertsekas, D.P.: Constrained optimization and Lagrange multiplier methods. Computer Science and Applied Mathematics. Academic Press Inc., New York (1982)[2] Fernández, D., Solodov, M.: Local convergence of exact and inexact augmented Lagrangian methods under the second-order sufficiency condition. Submitted to SIAM Journal on Optimization (2010). IMPA preprint A677, October 2010[3] Rockafellar, R.T., Wets, R.J.B.: Variational Analysis. Springer-Verlag, New York (1997)