Sobre un método de regularización para un problema estacionario de conducción de calor

GUILLERMO FEDERICO UMBRICHT; DIANA RUBIO

Tandil, Buenos Aires

Workshop; V Workshop Latinoamericano en Optimización y Control (LAWOC); 2016

Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires

El problema de la identificación de la fuente desconocida ha sido muy estudiado y ha recibido considerable atención de muchas investigaciones actuales debido esencialmente a que se han encontrado disímiles y múltiples aplicaciones en los distintos campos de la ciencia tales como la conducción de calor, la identificación de fisuras, la teoría electromagnética, la prospección geofísica, la detección de contaminantes, la tomografía, la tomografía de impedancia eléctrica y la determinación de tumores en un tejido biológico, entre otros. Particularmente el problema inverso de estimar la fuente unidimensional en la ecuación estacionaria de calor en dos dimensiones espaciales a partir de mediciones en un punto interno del dominio es un problema mal planteado en sentido de Hadamard. Esto significa que las soluciones no varían de forma continua con respecto a los datos del problema y debido a ello una pequeña perturbación en la entrada, por ejemplo ocasionado por los errores de medición, puede desembocar en una gran variación en la solución. Este hecho hace que el problema sea imposible de resolver mediante la utilización de métodos clásicos teniendo que recurrir a un método de regularización. En este trabajo utilizamos un método introducido por Xiao-Xiao Li que ha sido aplicado a otras situaciones y consiste en el agregado de un penalizador en la ecuación a estudiar. Una característica común de las técnicas de regularización es que todas ellas requieren la utilización de un parámetro,μ, que depende del problema a regularizar, por lo general, se denomina parámetro de regularización. Este parámetro controla el peso dado a la minimización del término penalizador en la ecuación estudiada. El autor propone en su trabajo una expresión analítica para dicho parámetro que depende directamente de la amplitud del ruido de los datos de medición. A demás realiza una estimación para el error de tipo Hölder cometido en la identificación de la fuente, según la bibliografía este tipo de error es óptimo y se desprende que la identificación de la fuente se realiza de manera óptima. Encontramos que esto no es necesariamente así, en primer lugar observamos que el parámetro de regularización es independiente de la amplitud de ruido de los datos de entrada pero si depende fuertemente del problema particular que estemos considerando y más precisamente de la expresión funcional de la fuente a estimar. En segundo lugar observamos que tomando un rango más amplio para el parámetro de regularización se obtienen mejores aproximaciones pudiendo así determinar de manera numérica el valor de μ que minimiza el error cuadrático entre la solución regularizada y la expresión analítica de la fuente exacta.