Un modelo de tipo cinético para el desarrollo y evolución de la criminalidad

DAMIAN KNOPOFF

Santa Fe

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2015

En este trabajo se propone un enfoque de tipo cin\'etico para modelizar el desarrollo y la evoluci\'on de la criminalidad en una sociedad. El modelo considera una poblaci\'on de individuos distribuidos en un cierto territorio, que puede subdividirse entre ciudadanos, criminales y dectives. Cada uno de estos grupos expresa su propia funci\'on/estrategia con una cierta intensidad. Por ejemplo, los ciudadanos intentan conservar o aumentar sus niveles de riqueza [2], la cual los criminales buscan sustraer, en tanto que son perseguidos por los detectives, que intentan contrarrestar los niveles de criminalidad. El enfoque matem\'atico pretende estudiar la relaci\'on entre el comportamiento de cada grupo con su posible crecimiento o decrecimiento, teniendo en cuenta que puede haber migraciones de un grupo a otro. Consideremos una numerosa población con una distribución espacial homogénea sobre un cierto territorio (por ejemplo, una ciudad o región). A los individuos de la población los denominaremos genéricamente partículas activas, capaces de expresar una estrategia. La población se subdivide en tres grupos, llamados  subsistemas funcionales, de acuerdo a la actividad específica que pueden expresar:\begin{itemize}\item $i =1$ Ciudadanos normales, cuyo estado microsc\'pico viene dado por su nivel de riqueza, que constituye una atracci\'on para la eventual perpetraci\'on de actos criminales.\item $i =2$ Criminales, cuyo estado microsc\'opico est\'a dado por su habilidad criminal.\item $i =3$ Detectives que persiguen a los criminales de acuerdo a su habilidad. \end{itemize}Las variables microsc\'opicas est\'an representadas, para cada subsistema funcional, por una variable real $u$ que toma valores en los conjuntos $D_1, D_2, D_3 \subset\mathbb{R}^+_0$, respectivamente. El sistema se representa a trav\'es de funciones de distribuci\'on $f_i:[0,T) \times D_i \to \mathbb{R}_0^+, \qquad i  = 1, 2, 3,$ donde $T>0$ es un tiempo final de observaci\'on dado. De este modo,  $f_i(t, u)\, du$ denota, bajo condiciones apropiadas de integrabilidad, el n\'umero de part\'iculas del subsistema $i$ cuyo estado, al tiempo $t$, se encuentra en el intervalo $[u, u + du]$. Por lo tanto$n_i(t) = \int_{D_i} f_i(t, u)\, du, \quad i = 1, 2, 3,$define el tama\~no del grupo $i$.  El enfoque que presentamos aquí propone una ecuaci\'on de tipo cin\'etico que representa las interacciones entre part\'iculas, con objeto estudiar c\'omo evolucionan temporalmente el tamaño y la distribuci\'on de cada subsistema funcional, c\'omo surge el crimen y c\'omo a trav\'es del modelado puede predecirse su evoluci\'on y su posible control en una sociedad [1].\small{\begin{thebibliography}{1}\bibitem{[BCKS15]} {\sc{N.~Bellomo, F.~Colasuonno, D.~Knopoff, and J.~Soler}}, {\em From a Systems Theory of Sociology to Modeling the Onset and Evolution of Criminality}, Networks and Heterogeneous Media, to appear (2015).\bibitem{[KNOP13]} {\sc{D.~Knopoff}}, {\em On the modeling of migration phenomena on small networks}, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 23 (2013), pp.541-563.\end{thebibliography}