Recuperación de parámetros en un problema de frontera libre para el crecimiento de tumores

KNOPOFF DAMIAN; TORRES GERMAN; TURNER CRISTINA

San Miguel de Tucumán

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2011

En este trabajo mostraremos un modelo matemático para elcrecimiento de tumores con quimioterapia. Dicho modelo está planteado como un problema de frontera libre, constituida por elborde del tumor, siendo el dominio el propio tumor. Se tiene unsistema de ecuaciones diferenciales parciales para el numero decelulas tumorales ($n$), la concentración de nutrientes ($c$), lavelocidad del flujo de células ($v$) y la concentración de droga($w$). Se asume un tumor esférico, con simetría radial, con locual nuestras variables independientes son el radio $r$ y el tiempo$t$.Las ecuaciones involucradas en el modelo son las siguientes:$$\frac{\partial n}{\partial t}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 v n)}{\partial r}=f_1(n,c,w)$$$$\frac{\partial c}{\partial t}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 v c)}{\partial r}-\frac{D}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial c}{\partial r})=f_2(n,c,w)$$$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 v)}{\partial r}= f_3 (c,n,w)$$$$ \frac{\partial w}{\partial t}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 v w)}{\partial r}-\frac{D_w}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial w}{\partial r})=f_4(n,c,w)  $$donde $S(t)$ es la frontera libre y las $f_i$ son funciones que sederivan de cuestiones de cinética química y biológica. Las condiciones de borde e iniciales son prefijadas.Es importante recalcar que en este modelo hay incluidos parámetros cuya obtención constituye un problema por sí mismo. En este trabajo mostraremos un método de estimación de los mismos vía resolución de un problema inverso. Esto es, vía la minimización de un funcional adecuado. En particular, dado un parámetro (o vector de parámetros) $\alpha$ definimos:$$J(N,S;\alpha)=\int_0^1\int_0^T [N_\alpha (y,t)-N^*(y,t)]^2 dt dy +\mu \int_0^T [S_\alpha(t)-S^*(t)]^2 dt,$$donde $N_\alpha (y,t)$ y $N^*(y,t)$ son la densidad de células vivaspara el problema directo resuelto con el valor $alpha$ y para losdatos reales, respectivamente (ambas en el dominio$[0,1] imes[0,T]$) (ídem para S).