Análisis de la resonancia 1:2 en sistemas con retardos usando el Método de Hopf Gráfico

GRISELDA R. ITOVICH; GENTILE, FRANCO S.; JORGE L. MOIOLA

Congreso; Franco Sebastian Gentile; 2016

En este trabajo se analiza la dinamica de un sistema de ecuaciones diferenciales con retardos en el entorno de un punto de equilibrio donde, para una cierta conguracion de parametros, hay una degeneracion de Hopf que se conoce como una resonancia 1:2. Esta singularidad se describe cuando la linealizacion del sistema evaluada en el punto critico tiene dos pares de autovaloresimaginarios puros, que normalizados pueden representarse como wi,2wi y el resto de los autovalores tiene su parte real negativa. Esta degeneracion esta tipificada para edos por medio de formas normales y se sabe que es de codimension 3, es decir se necesitan tres parametros para poder describir en forma completa el comportamiento del sistema en su entorno. Utilizando desarrollos equivalentes para ecuaciones diferenciales con retardos, Campbell y LeBlanc realizaron estudios donde detectaron la presencia de bifurcaciones de doble periodo en las inmediaciones de la singularidad. Por otra parte, el teorema de Hopf grafico permite estudiar dicha bifurcacion asi como sus degeneraciones y es la herramienta elegida para el desarrolloefectuado, ya que se consiguen expresiones bastante precisas de las soluciones periodicas emergentes. A partir de las mismas es posible detectar ciertas bifurcaciones por medio de un metodo de colocacion con polinomios de Tchebyshev, la aproximacion del operador de monodromia y el analisis de los multiplicadores de Floquet. De esta forma, se pueden reconocer comportamientosdel sistema caracteristicos, en cercanias de la singularidad y describir la dinamica del sistema en su entorno.