Foliaciones por rayos tangentes y billares exteriores

YAMILE GODOY; MICHAEL HARRISON; MARCOS SALVAI

Córdoba Capital

Seminario; Seminario de Geometría Diferencial; 2023

FAMAF

Dada una curva suave, cerrada y estrictamente convexa $gamma$ en el plano y un punto $p$ en el exterior de $\gamma$, existen dos líneas tangentes a $\gamma$ por $p$; eligiendo, por ejemplo, la de la derecha desde el punto de vista de $p$, la aplicación billar exterior $B$ en $p$ se define como la reflexión de $p$ en el punto de tangencia, resultando invertible. Si $v$ es uno de los dos campos tangentes a la curva, observamos que la buena definición y la inyectividad del billar exterior plano son consecuencia de que los rayos geodésicos asociados a $v$ y a $-v$ determinan foliaciones del exterior de la curva. En esta charla presentaremos los resultados obtenidos de una generalización del problema de definir billares exteriores en mayor dimensión. Sea $v$ un campo suave unitario en una hipersuperficie umbílica (no totalmente geodésica) y completa $N$ de una forma espacial; por ejemplo en la esfera unitaria de dimenión $(2k-1)$ del espacio euclídeo $2k$-dimensional, o en una horosfera del espacio hiperbólico. Damos condiciones necesarias y suficientes sobre $v$ para que los rayos geodésicos con velocidades iniciales $v$ (y $-v$) folien el exterior $U$ de $N$. Encontramos y exploramos relaciones entre estos campos, campos geodésicos y estructuras de contacto en $N$. Cuando los rayos correspondientes a $v$ y a $-v$ determinan foliaciones sobre $U$, $v$ induce un mapa billar exterior cuya tabla de billar es $U$. Describimos los campos unitarios en $N$ cuyo mapa billar exterior asociado preserva volumen.