Regularidad y estimaciones a priori para sistemas elípticos no lineales.

DURÁN, RICARDO; SANMARTINO, MARCELA; TOSCHI, MARISA

Mar del Plata

Congreso; LIX Reunión de comunicaciones científicas de la Unión Matematica Argentina; 2009

Universidad Nacional de Mar del Plata

egin{document}   En este trabajo estudiaremos algunos resultados referentes a regularidad y es-timaciones a priori para u y v soluciones del siguiente problema el´iptico no lineal,extendiendo el caso m = 1 estudiado por Souplet en [2].   Consideremos un dominio $Omega:= {xin mathcal{R}^n:|x|< 1}$ para $nle 3$ y una deformaci´onde $Omega$ para el caso $n=m=2$, (ver [1] para mas detalles de esta perturbaci´on de $Omega$).Consideremos el problemaegin{eqnarray}label{1.1}left{egin{array}{ccc}(-Delta)^m u= a(x), v^p &mbox{ en }Omega(-Delta)^m v=b(x), u^q&mbox{ in }Omegaleft(rac{partial}{partial u}ight)^{j}u=left(rac{partial}{partial u} ight)^{j}v=0&mbox{ en }partialOmega& 0leq jleq m-1,end{array} ight.end{eqnarray}donde $rac{partial}{partial u} $ es la derivada normal exterior, $p,q>0$ ,  $pq>1$ y $a, b$ son funciones no negativas y acotadas. Definimos$$alpha= rac{2m(p+1)}{pq-1}  mbox{     y     }  eta=rac{2m(q+1)}{pq-1}.$$ {f Teorema 1:}  Supongamos que egin{equation}label{1.3} max(alpha,eta)>n-m end{equation} entonces toda soluci´on d´ebil no negativa de ( ef{1.1}) satisface  $$  |u|_infty ,, |v|_inftyleq C,  $$  donde $C=C(a,b,p,q,Omega)>0.$ Por otro lado, se obtiene la optimalidad de la condici´on (ef{1.3}).   {f Teorema 2:}(Optimalidad) Supongamos  $$max(alpha,eta)< n-m$$Luego existen funciones $a$, $bgeq 0$, tales que ( ef{1.1})tiene una soluci´on d´ebil $(u,v)$ con $u  otin L^infty(Omega)$ y $v otin L^infty(Omega).$end{document}