Estimaciones a Priori para la Solución de Potencias del Laplaciano en Espacios con Pesos

DURÁN, RICARDO; SANMARTINO, MARCELA; TOSCHI, MARISA

Mendoza

Congreso; LVIII Reunión de Comunicaiones Científicas de la Unión Matematica Argentina; 2008

Universidad Nacional de Cuyo

egin{document}Sea $Omega$ un dominio acotado en $mathbb{R}^n$ con borde suavey sea $u$ soluci´on del siguiente problema de Dirichlet,egin{eqnarray*}left{egin{array}{ccc}(-Delta)^m u=f &mbox{ en }Omegaleft(rac{partial}{partial u} ight)^{j}u=0&mbox{ en }partialOmega& 0leq jleq m-1end{array}ight.end{eqnarray*}donde $fin L^p_omega(Omega)$ siendo $omega$ un peso en la clase $A_p(mathbb{R}^n)$. En este trabajo demostramos que existe una constante $C=C(Omega, omega)$ tal queegin{eqnarray*}|u|_{W^{2m,p}_omega(Omega)} le C, |f|_{L^p_omega(Omega)}.end{eqnarray*} Este resultado es una extensi´on natural del dado en cite{DST}, dondeobtuvimos el resultado para el caso del laplaciano (o sea $m=1$).El caso $mge 2$ es m´as complicado debido a que, en general,la funci´on de Green no es positiva. En consecuencia, para extender losresultados de cite{DST} fue necesario desarrollar ciertos detalles t´ecnicos. egin{thebibliography}{9} ibitem[DST07]{DST}Dur{´a}n, R. G., Sanmartino, M. and Toschi, M.emph{Weighted a priori estimates for Poisson equation.}Aceptado para publicar en Indiana University Math. Journal. (2007) end{thebibliography} end{document}