Estimaciones a priori con pesos tipo potencias de la función distancia al borde

RICARDO, DURAN; SANMARTINO, MARCELA; TOSCHI, MARISA

Cordoba

Congreso; LVII Reunión de comunicaciones científicas de la Unión Matematica Argentina; 2007

Facultad de Matematica, Astronomía y Física de la Universidad Nacional de Córdoba

  {f Teorema.}label{pq}  Sea $Omega$ un dominio acotado en $mathbb{R}^n$con $partial Omegain C^2$ y sea $u$ una soluci´on del problema de Dirichlet en $Omega$; es deciregin{eqnarray}label{2} left{egin{array}{cc} -Delta u=f&mbox{ en }Omegau=0&mbox{ en }partialOmega end{array}ight. end{eqnarray}donde $fin L^p_{d^{gamma}}(Omega)$ y $d(x)$   es la funci´on distancia al borde $partialOmega$.    Sea $0 leqgamma < p-1$ y$displaystyle{rac{1}{p}- rac{1}{q}leq rac{2}{n+1}}$ (si$2, p =n+1$, $q$ debe ser tambi´en finito) Entonces existe una constante $C=C(gamma , p, q, n, Omega)$ talqueegin{equation}|u|_{L^{q}_{d^{gamma}}(Omega)}leq C,|f|_{L^p_{d^{gamma}}(Omega)}end{equation}end{teo}  Utilizando un m´etodo diferente, hemos obtenido el resultado dadoen cite{SP} para el caso particular $p>2$, pero conteniendo elcaso $displaystyle{ rac{1}{p}- rac{1}{q}= rac{2}{n+1}}$. {f Corolario }label{corolario1} Si $gamma =1$ tenemos para $p>2$ y $displaystyle{ rac{1}{p}- rac{1}{q}leqrac{2}{n+1}}$ (si $2, p =n+1$, $q$ debe ser tambien un numerofinito)egin{equation}|u|_{L^q_d(Omega)}leq C, |f|_{L^p_d(Omega)}end{equation}egin{thebibliography}{9} ibitem{SP} Philippe Suoplet,  ``A Survey on $L^p_d$ Spaces and Their Applications to NonlinearElliptic and Parabolic Problems". Mathematical Sciences andApplication, Vol.20 (2004) Nonlinear Partial DifferentialEquations and Their Applications, 464-479. end{thebibliography}