Sistemas diferenciales exteriores y sistemas con vínculos

SANTIAGO CAPRIOTTI

Mendoza, Argentina

Jornada; XXI Jornadas de Investigación y III Jornadas de Posgrado de la U.N. de Cuyo; 2008

Universidad Nacional de Cuyo

La cuantización canónica de una teoría mecánica necesita la identificación de una estructura de Poisson sobre su espacio de fases; en particular, toda teoría mecánica que provenga de un problema variacional sobre un espacio de jets admite tal estructura si el lagrangiano es regular. Para teorías singulares, Dirac ideó un método que construye un espacio de fases con tal estructura, aunque este método no está libre de ambigüedades, y falla cuando los vínculos obtenidos presentan algún tipo de singularidad. En este trabajo se intenta comprender las ecuaciones de una teoría de campo como un sistema diferencial exterior, y la manera en que tal descripción permite comprender la estructura de vínculos de Dirac asociados a la teoría; con este propósito en mente, se reformuló el problema variacional original, que vive sobre el espacio de jets asociados a los campos, como un problema variacional sobre el fibrado vectorial compuesto por la suma directa del espacio de $2$-formas sobre el espacio-tiempo con el mismo espacio complexificado, obteniendo como ecuaciones de movimiento un sistema diferencial exterior. Se estudió este EDS via el teorema de Cartan y Kähler, hallando condiciones que garantizan la existencia de soluciones para las ecuaciones originales; entre otras cosas, esto permitió identificar los vínculos asociados al algoritmo de Dirac como subconjunto de dichas condiciones.