Un esquema de reducción de Lagrange-Poincaré para principios variacionales generales

CAPRIOTTI, SANTIAGO

Bahía Blanca

Congreso; XII Congreso Dr. Antonio Monteiro; 2013

Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur - INMABB, CONICET

Los problemas variacionales usuales en mecánica clásica y teorías de campo determinan un sistema dinámico mediante la elección de una función sobre una variedad, el Lagrangiano, via las así llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange. Un aspecto importante de estos sistemas está relacionado con simetrías: Si un grupo de Lie deja invariante el Lagrangiano, entonces es subgrupo del grupo de simetrías de la ecuación diferencial subyacente, y un teorema de Noether permite asociarle cantidades conservadas. La reducción de Euler-Poincaré y de Lagrange-Poincaré provee un procedimiento para la eliminación de los grados de libertad superfluos, asociados a coordenadas sobre las órbitas del grupo de simetrías. Los problemas variacionales que surgen en mecánica y teoría de campos forman un subconjunto de una clase más general que podemos llamar problemas variacionales generales: En estos casos particulares sus variaciones deben respetar una estructura de contacto que es característica de estos problemas, mientras que en un problema variacional general la estructura de contacto se reemplaza por un sistema diferencial exterior. Utilizando una propuesta de Anderson y Fels para la reducción de un sistema diferencial exterior arbitrario por simetrías, se propone una posible extensión del concepto de reducción para problemas variacionales generales; en la medida que el tiempo lo permita, se discutirán algunas aplicaciones del esquema propuesto.