Número de representaciones de enteros por formas cuadráticas enteras indefinidas

LAURET, EMILIO A.

Mar del Plata

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina 2009; 2009

Universidad Nacional de Mar del Plata

El estudio de representaciones de números enteros por una forma cuadrática entera es un problema clásico dentro de la matemática. El caso en que la forma es definida positiva se aborda a través de la determinación de los coeficientes de Fourier de Funciones Theta asociadas a la forma. El caso en que la forma es indefinida está mucho menos explorado. Aquí el número de representaciones es siempre cero o infinito, por esto es necesario restringir las soluciones a un conjunto compacto, por ejemplo una bola (no necesariamente euclídea). Más precisamente denotaremos $N(Q,k;r)$ el número de soluciones $xinmathbb Z^{n+1}$ tales que $Q[x]=k$ y $|x|leq r$, donde $Q[x]$ es una forma cuadrática entera indefinida, $kinmathbb Z$, $r>0$ y $|cdot|$ es una norma. Ratcliffe y Tschantz (cite{Ratcliffe-Tschantz}) investigan el caso en que $Q[x]=x_1^2+dots+x_n^2-x_{n+1}^2$, obteniendo una fórmula asintótica para $N(Q,k;r)$ cuando $roinfty$, que incluye un término principal y una acotación del error. Para ello hacen uso del "lattice point theorem" de Lax y Phillips (cite{Lax-Phillips}) junto con la teoría de Siegel y cálculos de las llamadas ``local densities´´. Nosotros hemos considerado la generalización a $Q$ del tipo $left(egin{smallmatrix}T&0�&-dend{smallmatrix}ight)$, donde $T$ es definida positiva de rango $n$ y $dinmathbb N$, obteniendo la fórmula $$ N(Q,k;t)= C_n;extstyle{prod_p}, delta_p(Q,k); t^{n-1}+mathcal{O} left(t^{ho}ight), $$ donde $C_n$ es una constante explícita, $delta_p(Q,k)$ son las $p$-local densities y $ho$ es una constante que depende del espectro excepcional de cierto grupo discreto. Asimismo, estudiamos el problema análogo en el caso hermítico, haciendo uso del resultado de Bruggeman, Miatello y Wallach (cite{Bruggeman-Miatello-Wallach}) que generaliza el lattice point theorem en cite{Lax-Phillips} a espacios simétricos de tipo no compacto de rango real uno. egin{thebibliography}{} ibitem[BMW]{Bruggeman-Miatello-Wallach} R. Bruggeman, R. Miatello, y N. Wallach. ``Resolvent and lattice points on symmetric spaces of strictly negative curvature´´. extsl{Math. Ann.}, 315(4), 1999. ibitem[LP]{Lax-Phillips} P. Lax y R. Phillips. ``The asymptotic distribution of lattice points in Euclidean and non-Euclidean spaces´´. extsl{J. Funct. Anal.}, 46(3), 1982. ibitem[RT]{Ratcliffe-Tschantz} J. Ratcliffe y T. Tschantz. ``On the representation of integers by the Lorentzian quadratic form´´. extsl{J. Funct. Anal.}, 150(2), 1997. end{thebibliography}