Equivalencia de representaciones e isospectralidad

LAURET, EMILIO A.

Santa Fe

Congreso; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2015

Universidad Nacional del Litoral

Dados $G$ un grupo de Lie y $\Gamma$ un subgrupo discreto cocompacto de $G$, la representación regular a derecha $(R,L^2(\Gamma\backslash G))$ dada por $(R_g\cdot f)(x)=f(xg)$ es unitaria, y por un Teorema de Gelfand, Graev y Piatetski-Shapiro se descompone en suma de representaciones unitarias irreducibles con multiplicidades finitas.Existe una conocida relación entre la descomposición de tal representación y el problema de isospectralidad de variedades localmente homogéneas.El método (generalizado) de Sunada dice que si $L^2(\Gamma_1\backslash G)$ y $L^2(\Gamma_2\backslash G)$ son equivalentes, entonces las variedades localmente homogéneas $\Gamma_1\backslash G/K$ y $\Gamma_2\backslash G/K$ son fuertemente isospectrales ($K$ es cualquier subgrupo compacto de $G$). H.~Pesce [J.\ Funct.\ Anal.\ \textbf{134} (1995)] probó que la recíproca es cierta para la esfera $S^n=\mathrm{O}(n+1)/\mathrm{O}(n)$ y el espacio hiperbólico $H^n=\mathrm{SO}_0(n,1)/\mathrm{SO}(n)$.En esta charla mostraremos que también es cierta para el espacio Euclídeo $\mathbb R^n = (\mathrm{O}(n)\ltimes \mathbb R^n)/\mathrm{O}(n)$.