Modelos para el Análisis de las Series de Tiempo

ABRIL, JUAN CARLOS

Ediciones Cooperativas

Lugar: Buenos Aires; Año: 2004 p. 393

987-1076-54-1

    El objetivo de este libro es presentar de forma sistemática los modelos lineales de series de tiempo y su aplicación al modelado y predicción de datos recolectados de forma secuencial en el tiempo. La meta es proveer técnicas específicas para manipular ese tipo de datos y al mismo tiempo brindar las herramientas necesarias para lograr una adecuada compenetración de la base matemática de esas técnicas. Se discuten los métodos tanto en el dominio del tiempo como en el de las frecuencias, pero el libro está escrito de tal manera que cualquier enfoque puede ser enfatizado.    Este libro es el producto de muchos años de experiencia en el dictado de cursos de series de tiempo y de investigaciones en esta área. En efecto, las primeras notas comenzaron a prepararse en 1985 cuando estaba en la Universidad de Valencia, España, como Profesor Visitante. Esas notas serían la base de las clases del curso de Series Cronológicas (o Series de Tiempo) que debía dictar a partir de 1986 en la Universidad Nacional de Tucumán, Argentina. Posteriormente, las notas se fueron actualizando, por un lado con los nuevos avances que se producían en el área y por el otro con la experiencia personal ganada en el dictado de los cursos respectivos y en las investigaciones teóricas y aplicadas realizadas. Todo ello fue adecuadamente incorporado al libro, lográndose un trabajo actual y de suficiente profundidad y nivel.    El libro ha sido dividido en cuatro partes. La Parte I trata del análisis de una sola serie en el dominio del tiempo. Allí presentamos a los procesos estocástico estacionarios, sus características y propiedades. Luego definimos las funciones de autocovarianzas y autocorrelaciones de esos procesos junto con la función de autocorrelación parcial correspondiente. Se enuncia el concepto de ergodicidad y su relación con los procesos estocásticos estacionarios. Después se presentan ejemplos de series de tiempo estacionarias. A continuación se estudian los modelos autorregresivos estacionarios, de promedios móviles y mixtos (ARMA), más un tratamiento adecuado del teorema de la descomposición de Wold. El siguiente paso en esta parte, es el estudio de la correlación serial, de los estimadores de los coeficientes de autocorrelación y de autocorrelación parcial, de sus distribuciones y de los tests respectivos. Luego se estudian los métodos de ajuste de modelos y las propiedades de los estimadores logrados. A continuación se analiza el problema de predicción tanto de modelos ARMA estacionarios como de los ARIMA, poniendo énfasis en el llamado enfoque de tipo Box y Jenkins. Se concluye esta parte con un conjunto de ejercicios que cubren los temas considerados hasta ese punto.    En la Parte II se enfoca el análisis de las series en el dominio de las frecuencias. Allí se efectúa el estudio de las series en el dominio de las frecuencias. Posteriormente, se discuten los métodos de estimación de la densidad y distribución espectral. En ese sentido, se presenta al periodograma, sus propiedades, ventajas y desventajas como estimador de la densidad espectral. Luego se estudia la estimación consistente del espectro, con indicaciones de algunas de las ventanas. También se analiza la forma en que opera la transformada rápida de Fourier. A continuación se analizan algunos tests de periodicidades en el dominio de las frecuencias. El siguiente paso trata de las estimaciones de los parámetros de procesos estocásticos en el dominio de las frecuencias. Acto seguido se presenta el análisis espectral bivariado. Se concluye esta parte con un conjunto de ejercicios que cubren los temas considerados en esta parte y hasta ese punto.    En la Parte III se realiza el estudio econométrico de las series de tiempo. Aquí el énfasis está puesto en formular una relación de comportamiento entre la serie a estudiar y otras asociadas que puedan servir para explicar a la primera. Muchas de las técnicas usadas en el estudio de las series de tiempo son aquellas basadas en el análisis de regresión (teoría clásica de mínimos cuadrados) o bien son adaptaciones o análogas de ellas. Las variables independientes o explicativas pueden ser funciones del tiempo. Se inicia esta parte resumiendo primero los procedimientos estadísticos cuando los términos aleatorios o errores son no correlacionados. Luego esos procedimientos son modificados para considerar los casos de términos aleatorios o errores con matriz de varianzas arbitraria, estudiando en esas circunstancias las cualidades (en relación a eficiencia y sesgo) de la estimación por mínimos cuadrados (MC) y la teoría asintótica bajo la presencia de correlación serial. También se consideran los casos en que algunos de los regresores son variables dependientes rezagadas con errores autocorrelacionados. Posteriormente se estudian los tests de correlación serial en regresión con series de tiempo, comenzando con el test d de Durbin-Watson, siguiendo con el test h de Durbin y culminando con tests en el dominio de las frecuencias. A continuación se presenta el problema de ajustar modelos de regresión con errores autocorrelacionados. Para ello, se consideran tres técnicas, una en el dominio del tiempo y dos en el dominio de las frecuencias, todas basadas en las ideas de máxima verosimilitud, discutiéndose las propiedades de cada una de ellas. Se concluye esta parte con un conjunto de ejercicios que cubren los temas considerados en esta parte y hasta ese punto.    En la Parte IV, el estudio se centra en el enfoque de espacio de estado (EE) de las series. Este enfoque puede ser considerado como una generalización de los tratamientos dados en las Partes I y III con el agregado que incluye también los casos multivariados. Se pone énfasis en destacar que los modelos puestos en la forma de EE son en realidad equivalentes a modelos de regresión lineal con parámetros estocásticos que varían en el tiempo. Se discute también cómo los modelos estructurales de series de tiempo pueden ser puesto en la forma de espacio de estado y así encarar el análisis respectivo basado en el filtro y suavizador de Kalman. La presentación continúa con la estimación de los hiperparámetros. En todo momento se hacen comparaciones entre este enfoque de EE y el denominado ARIMA o de Box y Jenkins. Posteriormente se analizan las formas en que este enfoque puede resolver problemas de series de tiempo irregulares, tales como la presencia de observaciones atípica, cambios estructurales, espaciado irregular, observaciones no Gaussianas, etc. Finalmente, se concluye esta parte con un conjunto de ejercicios que cubren los temas considerados en esta parte y hasta ese punto. Un libro recomendado como apoyo para esta parte es el de Abril (1999), el que provee un adecuado marco teórico al enfoque de espacio de estado para el análisis de las series de tiempo.    El símbolo ■ se usa, cuando es necesario, para indicar que un ejemplo, teorema, etc., finaliza para dar paso a otro desarrollo diferente.    Solamente conocimientos básicos de estadística y álgebra de matrices son necesarios para entender la teoría presentada en este libro. En estadística, se requieren conocimientos elementales de esperanzas matemáticas, varianzas, distribuciones y transformaciones de variables, junto con distribuciones condicionales. También es necesario tener conocimientos elementales de estimación y tests de hipótesis. Muchos de los resultados están basados en la distribución normal o Gaussiana, en consecuencia es necesario entender sus características tanto en el caso univariado como en el multivariado. No se requiere conocimiento previo de series de tiempo. En álgebra de matrices, todo lo que se necesita es un adecuado manejo de la multiplicación de matrices, inversas, eigenvalores y eigenvectores, junto con conceptos tales como rango y traza.    Mi agradecimiento profundo a mi familia por estimularme constantemente, y a la Facultad de Ciencias Económica de la Universidad Nacional de Tucumán, Argentina, por proveerme el ambiente académico adecuado, para poder escribir el presente trabajo.