Aproximaciones de Punto de Ensilladura y de Edgeworth a la Distribución de Formas Cuadr¨¢ticas No Centrales

ABRIL, JUAN CARLOS; ABRIL, MARÍA DE LAS MERCEDES; MARTÍNEZ, CARLOS I.

San Fernando del Valle de Catamarca

Congreso; XXXVII Coloquio Argentino de Estadística; 2009

Universidad Nacional de Catamarca y Sociedad Argentina de Estadística

    En la primera parte de este trabajo desarrollamos la teoría de las aproximaciones multivariadas de punto de ensilladura a la densidad h_{n}(x,¦È). El tratamiento difiere del de Barndorff-Nielsen y Cox (1979, ecuaci¨®n (4.7)) en dos aspectos: (i) nuestros resultados se satisfacen para vectores aleatorios que no necesariamente son sumas de vectores aleatorios independientes e idénticamente distribuidos, y (ii) nosotros consideramos que la muestra se ha tomado de cualquier distribución, no necesariamente de algún miembro de la familia exponencial de densidades.    Luego mostramos la relación entre las aproximaciones multivariadas de punto de ensilladura previamente desarrolladas y las correspondientes aproximaciones multivariadas de Edgeworth cuyo tratamiento general fue realizado por Durbin (1980), poniendo énfasis en mostrar que los supuestos básicos que sustentan la validez de ambas aproximaciones son esencialmente similares.    Posteriormente consideramos un vector S_{n}=S_{n}(y)=(S_{1n},S_{2n},¡­,S_{mn})¡ä de dimensión m, donde cada elemento es una forma cuadrática definida como  S_{kn}=yA_{k}y,  k=1,2,¡­,m, <label>sae7</label> con y igual a un vector normal multivariado de dimensión n, con vector de media ¦Ì¡Ù0 y matriz de varianzas ¦², o sea yªÃN(¦Ì,¦²), y usando los resultados generales dados en la primera parte, obtenemos las aproximaciones de punto de ensilladura y de Edgeworth para la distribución del vector X_{n}=n^{-1/2}{S_{n}-E(S_{n})}. El vector 0 es aquel cuyos elementos son todos iguales a cero.