Problemas métricos en variedades de Stiefel

E. CHIUMIENTO

Mar del Plata

Congreso; LIX Reunión de Comunicaciones Científicas UMA; 2009

UMA

Sea B(H) el espacio de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert H, I el conjunto de isometrías parciales en B(H) y K(H) el ideal de operadores compactos. Dado v_0 \in I, definimos la K(H)-variedad de Stiefel asociada a v_0 como St_c (v_0):= \{ v \in I : v-v_0 \in K(H), j(v_0*v_0,v*v)=0 }, donde j indica el \'indice de un par de proyecciones. Si denotamos con UC(H) al grupo unitario de Fredholm, es decir, unitarios que difieren de la identidad en un operador compacto, se puede mostrar que St_c (v_0)={ uv_0w* : u,w \in UC(H) }. Más aún, St_c (v_0) es un espacio homogéneo del grupo UC(H) x UC(H). Constituye un ejemplo de variedad de dimensión infinita donde puede definirse una métrica de Finsler cociente inducida por la norma uniforme. . Mostraremos que el problema de valores iniciales se puede resolver en St_c (v_0) cuando v_0 es una isometría parcial de rango finito. Es decir, dado un vector tangente en un elemento de St_c (v_0), podemos hallar una curva que comience en dicho elemento con velocidad igual al vector dado y de longitud minimal en un cierto intervalo de tiempo. Por otro lado, daremos una caracterizacion de la distancia rectificable en St_c (v_0) como la distancia cociente dada por la distancia rectificable en UC(H) x UC(H) cocientado por el grupo de isotropía.