Nuevas Estimaciones sobre los Ceros de un Polinomio sobre un Cuerpo Finito

ANTONIO CAFURE; GUILLERMO MATERA; MELINA PRIVITELLI

Mar del Plata, Pcia. de Buenos Aires

Congreso; LIX Reunión Anual de Comunicaciones Científicas: 2009; 2009

Unión Matemática Argentina (UMA)

Sea Fq el cuerpo finito de q elementos y consideremos un polinomio f en n indeterminadas con coeficientes en Fq. Un cero q-racional de f es un cero cuyas coordenadas pertenecen a Fq. Nos interesa obtener estimaciones sobre la cantidad de ceros q-racionales de f cuando este es absolutamente irreducible. El interés por las mismas radica en sus aplicaciones a la criptografía, teoría de códigos, combinatoria, factorización de polinomios, etc. En el presente trabajo, continuando con las ideas de [1] y utilizando la versión efectiva del Teorema de Bertini de [3], se obtiene una mejora en el término de error de la estimación hallada en [1]. Finalmente, como una consecuencia de nuestras estimaciones mejoramos la caracterización dada en [2] sobre los deep holes en códigos de Reed-Solomon. REFERENCIAS [1] A. Cafure and G. Matera, Improved explicit estimates on the number of solutions of equations over a finite field, Finite Fields and their Applications, 12(2):155-185, 2006. [2] Q. Cheng and E. Murray, On deciding deep holes of Reed?Solomon codes, Theory and applications of models of computation (Berlin) (J.-Y. Cai, ed.), Springer, 296?305, 2007. [3] G. Lecerf, Improved dense multivariate polynomial factorization algorithms, Journal of Symbolic Computation, 42(4):477-494, 2007.