Estimaciones para variantes de ecuaciones diagonales sobre cuerpos finitos

MARIANA PÉREZ; MELINA PRIVITELLI

Córdoba

Congreso; Segundo Encuentro Argentino de Cuerpos Finitos y Temas Afines; 2019

Ciertos problemas de teoría de códigos, criptografía y combinatoria, requieren el estudio de la geometría de variedades simétricas sobre cuerpos finitos, es decir, variedades definidas por polinomios en los polinomios simétricos elementales. En este trabajo consideramos los polinomios suma de potencias de orden k en las variables X1, . . . , Xn, es decir, los polinomios de la forma S_k = X_1^k + · · · + X_n^k. Dado f ∈ Fq[Y1, . . . , Yd] (donde Fq es el cuerpo finito de q elementos) y S_{k1}, · · · , S_{kd} ∈ Fq[X1, . . . , Xn], definimos la variedad dada por f(S_{k1}, . . . , S_{kd}) + g, con g ∈ Fq[X1, . . . , Xn] . Bajo ciertas hipótesis sobre f y g, probamos que dicha variedad es absolutamente irreducible, y también obtenemos una cota de la dimensión de su lugar singular. A partir de este estudio, y utilizando los resultados de conteo de puntos Fq-racionales para variedades singulares provistos en un trabajo de S. Ghorpade y G. Lachaud (2002), obtuvimos estimaciones de la cantidad de puntos Fq-racionales de este tipo de variedades.Finalmente aplicamos estas técnicas al problema de estimar el cardinal del conjunto de soluciones Fq-racionales de ciertas ecuaciones polinomiales sobre Fq. Más precisamente, obtenemos resultados de existencia y estimaciones de la cantidad de soluciones Fq-racionales de las ecuaciones diagonales deformadas, las ecuaciones generalizadas de Markoff-Hurwitz y las ecuaciones de Carlitz.