Estimaciones de soluciones racionales de sistemas de ecuaciones diagonales.

MARIANA PÉREZ; MELINA PRIVITELLI

Bahía Blanca

Congreso; XVI Congreso Dr. Antonio Monteiro.; 2021

Universidad Nacional del Sur

Sea Fq el cuerpo finito de q elementos. En este trabajo estudiamos el conjunto de soluciones racionales, soluciones con coordenadas en Fq, de sistemas de ecuaciones diagonales generalizadas, es decir, sistemas del tipo: a_{j1}X_{1}^d_1 +a_{j2}X_{2}^d_2 + ...+ a_{jt}X_t^{d_t} = g_j(X1;...;Xk), 1\leq j \leq n , k menor o igual que t, con g_1;...; g_n en Fq[X1; ...Xk], grado(g_j) < d_t para j=1,..., n.Diversos problemas de teoría de códigos, criptografía y combinatoria sobre cuerpos finitos requieren estimar o poder garantizar la existencia de soluciones racionales de sistemas de la forma (1) (ver, por ejemplo, [1] y [2]). Para el caso particular de ecuaciones diagonales existen muchos resultados, incluso hay fórmulas de conteo exacto de soluciones racionales para ecuaciones especiales. En [3] proporcionamos estimaciones y resultados de existencia para variantes de ecuaciones diagonales como las ecuaciones diagonales generalizadas, las ecuaciones de Markoff-Hurwitz y las ecuaciones de Carlitz. A diferencia de esto, cuando se trata de sistemas, se encuentran muchos menos resultados (ver [2]).En este trabajo generalizamos las técnicas desarrolladas en [3]. Consideramos la variedad V definida por los polinomios f_j := a_{j1}X_{1}^d_1 +a_{j2}X_{2}^d_2 + ...+ a_{jt}X_t^{d_t} -g_j(X1;...;Xk), j=1,...n y estudiamos las propiedades geométricas de la misma. Esto nos permitió obtener estimaciones y resultados de existencia de soluciones racionales del sistema (1) que mejoran en diversos aspectos los resultados de los trabajos [4] y [5].Referencias:[1] R. Lidl and H. Niederreiter, Finite fields, Addison{Wesley, Reading, Massachusetts, 1983.[2] Gary L. Mullen and Daniel Panario, Handbook of Finite Fields (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, 2013.[3] M. Pérez and M. Privitelli, Estimates on the number of rational solutions of variants of diagonal equations over finite fields, Finite Fields and Appl. 68 (2020).[4] K. W. Spackman, Simultaneous solutions to diagonal equations over finite fields, J. Number Theory 11 (1979), no. 1, 100--115.[5] K. W. Spackman, On the number and distribution of simultaneous solutions to diagonal congruences, Canadian J. Math. 33 (1981), no. 2, 421--436.