Degeneraciones de Hopf en ecuaciones diferenciales con retardos

GRISELDA R. ITOVICH; JORGE L. MOIOLA; ANDREA L. BEL

Mendoza

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina 2008; 2008

Sea dado un sistema de ecuaciones diferenciales con retardos (EDR) autónomo. Un mecanismo conocido que hace aparecer una solución periódica es la bifurcación de Hopf. Para detectar una tal bifurcación, se considera la linealización de la ecuación en torno de x* = x*(t); una solución de equilibrio constante. El sistema lineal permite estudiar la estabilidad de la solución x* a traves de las raíces de la ecuación característica. Si todas ellas se encuentran en el semiplano izquierdo entonces x* es asintóticamente estable. Una bifurcación de Hopf se asocia directamente con la existencia de un par de raíces complejas que cruzan el eje imaginario al hacer variar un parámetro. Los puntos de degeneraciones, que se encuentran donde falla alguna de las hipótesis del teorema de bifurcación de Hopf , dan lugar a fenómenos de mayor complejidad dinámica, como simultaneidad de soluciones periódicas o existencia de soluciones cuasiperiódicas, por mencionar algunos casos. En las aplicaciones, la importancia del análisis de sistemas de EDR, puede ligarse con mecanismos de realimentación en sistemas y con el desarrollo actual de la teoría de control. Aplicando transformada de Laplace en la ecuación, la determinación de soluciones periódicas puede resolverse en el dominio de la frecuencia por medio de un resultado derivado del teorema de bifurcación de Hopf. De esta forma, es posible analizar degeneracionesde Hopf y sus dinámicas asociadas. En particular, se han analizado las degeneraciones de codimensión 1 y los resultados hallados coinciden con los presentados por Golubitsky y Langford.