Bifurcación de ecuaciones diferenciales con retardo en el dominio frecuencia: Una generalización

GRISELDA R. ITOVICH; JORGE L. MOIOLA; ANDREA L. BEL; WALTER A. REARTES

Mar del Plata

Congreso; LIX Reunión de la Unión Matemática Argentina; 2009

Universidad Nacional de Mar del Plata

Un enfoque que permite analizar ecuaciones diferenciales con retardos temporales (EDR), como x_ (t) = f(x(t); x(t 􀀀 ); ) donde x 2 Rn; f : R2n R ! R; f 2 C2; 2 R+; 2 R; es la metodología en el dominio frecuencia. Para esto es necesario incorporar nuevas variables, de entrada y salida, aplicar una transformada de Laplace e interpretar el modelo resultante, separando una parte lineal y otra no lineal, como un sistema realimentado. En este contexto, se puede estudiar el fenómeno de bifurcación de Hopf, por medio de una adaptación del teorema de Hopf gráfi?co [1]. Una de las ventajas notables que puede ofrecer este enfoque, que se aplica también en el estudio de bifurcación en ecuaciones diferenciales ordinarias [2], se re?ere a la posibilidad de reducir la dimensión del espacio original de soluciones. Además, se sabe que cuando el problema a analizar puede reducirse al caso unidimensional, el método presenta varias simpli?ficaciones. En este trabajo, se propone considerar el caso más general donde el tratamiento en el dominio frecuencia no es unidimensional. Para esta situación, la determinación de expresiones aproximadas para las soluciones periódicas emergentes, requiere el cálculo de nuevas magnitudes (antes triviales) que complejizan la aplicación de la metodología propuesta. En este marco, también se propone el análisis de algunas degeneraciones del teorema clásico de la bifurcación de Hopf. La importancia del análisis de sistemas de EDR, puede relacionarse con múltiples aplicaciones como el estudio de modelos de redes neuronales, poblacionales, mecanismos biológicos asociados con las llamadas "enfermedades dinámicas", en sistemas de comunicaciones congestionadas por re- tardos de transmisión, etc.