Estudio de bifurcaciones en un péndulo rotatorio realimentado con retardo.

ANDREA L. BEL; WALTER A. REARTES

Córdoba

Congreso; IV Congreso Latinoamericano de Matemáticos; 2012

Universidad Nacional de Córdoba

Estudiamos un péndulo rotatorio realimentado, es decir un péndulo en un plano que gira con velocidad angular constante Ω, al cual agregamos una realimentación no lineal que consiste en un torque senoidal con fase proporcional a la diferencia entre el ángulo actual y su valor retardado un tiempo tau. La ecuación que modela esta situación es x+((g/Ω^2) - cos x ) sin x = γ sin(x - x_tau), donde Ω > 0, γ es real, tau > 0 y x_tau = x(t - tau). La metodología utilizada es original para este tipo de estudio, consiste en aplicar el método de análisis homotópico [2,3] para encontrar expresiones analíticas de las soluciones periódicas, y un método de colocación de Chebyshev para analizar su estabilidad. Nos concentramos en el análisis del comportamiento del sistema cuando se varían los tres parámetros, a saber la velocidad angular del vínculo, el retardo y la ganancia de realimentación. La dinámica del sistema es muy variada, estudiamos en particular bifurcaciones de Hopf, de Hopf doble y bifurcaciones Neimark-Sacker asociadas a esta última. Además, es posible detectar bifurcaciones de ciclos fold y de doble período. Los resultados obtenidos con esta metodología muestran una gran coincidencia con los del programa DDE-BIFTOOL [1], específico para el estudio de este tipo de ecuaciones. Referencias [1] K. Engelborghs, T. Luzyanina, and G. Samaey, DDE-BIFTOOL v. 2.00: a MATLAB package for bifurcation analysis of delay differential equations, Technical Report TW 330, Department of Computer Science, K.U. Leuven, Leuven, Belgium, 2001. [2] S. Liao, Beyond Perturbation, Introduction to Homotopy Analysis Method, Chapman & Hall/CRC, 2004. [3] S. Liao, On the homotopy analysis method for nonlinear problems, Applied Mathematics and Computations, 147 (2004) 499?513.