Una torres de tipo Garcia, Stichtenoth y Thomas asintóticamente mala sobre un cuerpo primo

CHARA, MARÍA; TOLEDANO, RICARDO

Rosario

Congreso; LXII Reunión de la Unión Matemática Argentina; 2013

Sea $\mathcal{F}=(F_0, F_1, \ldots)$ una torre de cuerpos de funciones sobre el cuerpo finito con $q$ elementos denotado por $\mathbb{F}_q$. El l\'imite de una torre se define como $$\lambda(\mathbb{F})=\lim_{i\rightarrow \infty}\frac{N(F_i)}{g(F_i)},$$ donde $N(F_i)$ es el n\'umero de lugares racionales de $F_i$ y $g(F_i)$ es el g\'enero de $F_i$. Si el l\'imite es positivo diremos que $ \mathcal{F}$ es asint\'oticamente buena. En caso de l\'imite nulo diremos que la torre es asint\'oticamente mala. En esta charla trabajaremos con torres de tipo GST (ver \cite{GST97}), es decir, con torres recursivas en las cuales cada extensi\'on $F_{i+1}/F_i$ es una extensi\'on de Kummer definida por una ecuaci\'on de la forma $y^m=f(x)$ donde $q\equiv 1 \mod(m)$, $f(x)=x^dg(x) \in \mathbb{F}_q[x]$ es un polinomio de grado $m$ con $\gcd(d,m)=1$ y $g(0)\neq 0$. Suponiendo una condici\'on extra (para asegurar ramificaci\'on finita) los autores en \cite{GST97} probaron que si $\mathcal{F}$ es una torre de tipo GST sobre $\mathbb{F}_q$ con $q$ no primo, entonces $\mathcal{F}$ es asint\'oticamente buena. M\'as tarde, Lenstra en \cite{Lenstra} prob\'o que esa condici\'on extra no se cumple en el caso de $q$ primo. Por esta raz\'on, es razonable pensar que en el caso de cuerpos primos las torres de tipo GST ser\'an asint\'oticamente malas. Sorpresivamente no hay ejemplos en la literatura de torres de tipo GST sobre cuerpos primos con comportamiento asint\'otico malo. En esta charla veremos que la ecuaci\'on $$y^3=x(x^2+2),$$ define una torre de tipo GST sobre $\mathbb{F}_7$ asint\'oticamente mala. Este ejemplo es parte de un trabajo conjunto \cite{Chara2012} con R. Toledano.