El módulo virtual de Lefschetz para el estudio de puntos fijos y la conjetura de Quillen

KEVIN IVAN PITERMAN

Encuentro; Encuentro Virtual de Álgebra Homológica 2020; 2020

Uno de los teoremas de puntos fijos más famosos es el teorema del punto fijo de Lefschetz, el cual afirma que una función continua de un poliedro compacto cuyo número de Lefschetz no es 0 admite un punto fijo. En esta charla veremos la relación entre la existencia de puntos fijos y el módulo virtual de Lefschetz, que en cierta forma codifica estos números de Lefschetz. Si K es un complejo compacto que admite una acción de un grupo finito G, consideramos su módulo de Lefschetz reducido L(K) que se define como la suma alternada de los grupos de homología racional reducidos de K, vistos como QG-módulos. Este módulo vive en el anillo de representaciones de G (o anillo de Green). En particular, si K es Q-acíclico, este módulo es 0. Si además G es cíclico, entonces K admite un punto fijo por la acción de G. En general, esta conclusión es falsa si G no es cíclico, y sólo puede generalizarse a grupos cíclicos extendidos por q-grupos, con q primo. Esto último fue probado por B. Oliver. Con esta idea, analizaremos diferentes versiones de la famosa conjetura de Quillen. Esta conjetura afirma que si p es un número primo y el complejo de p-subgrupos no triviales Sp(G) de un grupo finito G es contráctil, entonces existe un punto fijo por la acción de conjugación de G sobre este complejo. Cuando el grupo G es (casi) simple, esta conjetura es válida reemplazando contractibilidad por L(Sp(G)) = 0, que es una condición más débil. Esto nos permite suponer que una versión más fuerte de la conjetura podría ser válida, en términos del módulo de Lefschetz. En esta dirección, mostraré algunos de los resultados recientes obtenidos con S.D Smith.