Método semi-analítico para el estudio de órbitas periódicas

DIEGO RIAL; BALDERRAMA ROCÍO

Simposio; II Simposio de Matemática Pura y Aplicada; 2019

Las oscilaciones r\'itmicas neuronales son fen\'omenos de red  emergen de diversos mecanismos, por ejemplo, las propiedades intr\'insecas de cada neurona, los distintos tipos de conexiones entre ellas y la topolog\'ia propia de la red. Oscilaciones anormales de estas redes pueden derivar en distintas enfermedades neurol\'ogicas, como por ejemplo el Parkinson y anomal\'ias motrices, entre otras. Es por esto que el estudio de las respuestas neuronales a inputs oscilatorios es fundamental para entender dichos mecanismos.En este trabajo describimos la din\'amica neuronal por medio del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (el cual es un modelo de tipo Hodgkin-Huxley) basado en la conductancia.    \begin{equation} \label{H-H}     \left\{ \begin{array}{llcc}    C\dot{V} & = -G_l(V-E_l)-G_h w(V-E_h)\\    & -G_p P_{\infty}(V)(V-E_{Na})+I_{in}(t)\\\\    \dot{w} & = \displaystyle \frac{w_{\infty(V)}-w}{\tau(V)}\\    \end{array}    \right. ,     \end{equation}    donde $p_{\infty}(V) =  \frac{1}{1+e^{-(V-V_1)/V_2}}$ y $w_{\infty}(V) =  \frac{1}{1+e^{-(V-V_3)/V_4}} $, $V_j\in \RR$ para $j=1,\ldots,4$ e $I_{in}(t)$ és el input oscilatorio.Empleando m\'etodos espectrales, m\'etodos num\'ericos y herramientas de sistemas din\'amicos desarrollamos un m\'etodo semi-anal\'itico que determina:\begin{enumerate}\item un diagrama de bifurcaci\'on para las relaciones $1:N$; i.e por cada oscilaci\'on del  input, el output tiene $N$ spikes (disparos)\item la estabilidad de la \'orbita peri\'odica del sistema.\end{enumerate}