Algunos problemas geometricos de tipo Kakeya

EZEQUIEL RELA

Sevilla

Seminario; Seminario IMUS; 2018

Un importante problema abierto en Teoría Geométrica de la Medida es el llamado "Problema de Kakeya". La formulación más simple de este problema consiste en determinar la dimensión de Hausdorff de un conjunto compacto en $\mathbb{R}^n$ que contenga un segmento unitario en cada posible dirección $e\in \mathbb{S}^{n-1}$. La conjetura es que la dimensión de este tipo de conjuntos debe ser necesariamente $n$, la dimensión del espacio y está verificada sólo en dimensión 2. Hay algunas generalizaciones naturales de este problema y durante esta charla discutiremos algunas de ellas. El problema de los conjuntos de Furstenberg consiste en considerar, en lugar de todo un segmento unitario en cada dirección, sólo un subconjunto de dicho segmento de una cierta dimensión $\alpha\in (0,1]$. En ese caso el problema de determinar una cota inferior para la dimensión de esta clase de conjuntos es aún un problema abierto incluso en el plano. Durante esta charla discutiremos algunos resultados sobre estos problemas y presentaremos algunas cotas en dimensiones superiores. También discutiremos versiones "multiline" tanto de Kakeya como Furstenberg, en las que suponemos que el conjunto analizado contiene una familia positivo dimensional de segmentos paralelos para cada dirección posible. El contenido de esta charla es un trabajo en conjunto con Ursula Molter de la Universidad de Buenos Aires y Pablo Shmerkin de la Universidad Torcuato di Tella.